§20 宇賀寓栖神社の答え

数学良問集もくじ＞§20 宇賀寓栖神社＞答え

ひとめでわかるように、答えのページは背景が白いのよ。

　　　セクション20「宇賀寓栖神社」の答え　　

Q20-01	鳥居
【コメント】おまえらのやっていることは、全部スりっとスパっとごりっとまるっとお見通しだ！【解答】この三角形の高さが、bsinθなので、面積は(1/2)absinθ　……(答) 辺a, bの間の角がθである三角形の面積の公式と同じですね。何のトリックもありませんでした！ ←問題へ戻る
ディクからの暗号	●

Q20-02	賽銭箱(手作り問題)
【コメント】そういえば、泥棒と強盗の違いはご存じですか？脅迫して金品を奪い取るのが強盗で、そうじゃないのが泥棒だそうです…。ふ～ん。ところで、本当に、問題文がすぐに消えてしまう…。【雑解】（1）求める面積は、(b－x)×2a/2＋S x＝2S/csinθ, sinθ＝2a/cなので、求める面積は、ab……(答) （2）（1）より、底辺b,高さ2aの三角形の面積と等しい。点Dを通り、線分ACと平行な直線を引き、四角形ABCDの面積が三角形ABEと等しくなるように、△ADCを△AECへと等積変形する。(点Eは、今引いた平行線と直線BCとの交点。) よって、線分ECの長さがxになる。全体的に意味不明な問題ですが「等積変形」を思い出していただければそれでいいです。次の問題で、どっぷり等積変形の世界へ浸(ひた)ってもらいます！ (あと、最初は「とうせきへんけい」と打って変換しても「透析変形」となるのでイライラします！) ←問題へ戻る
ディクからの暗号	●

Q20-02

賽銭箱(手作り問題)

【コメント】
そういえば、泥棒と強盗の違いはご存じですか？
脅迫して金品を奪い取るのが強盗で、そうじゃないのが泥棒だそうです…。
ふ～ん。

ところで、本当に、問題文がすぐに消えてしまう…。

【雑解】
（1）求める面積は、(b－x)×2a/2＋S
x＝2S/csinθ, sinθ＝2a/cなので、求める面積は、ab……(答)

（2）（1）より、底辺b,高さ2aの三角形の面積と等しい。
点Dを通り、線分ACと平行な直線を引き、四角形ABCDの面積が三角形ABEと等しくなるように、△ADCを△AECへと等積変形する。(点Eは、今引いた平行線と直線BCとの交点。)
よって、線分ECの長さがxになる。

全体的に意味不明な問題ですが「等積変形」を思い出していただければそれでいいです。
次の問題で、どっぷり等積変形の世界へ浸(ひた)ってもらいます！
(あと、最初は「とうせきへんけい」と打って変換しても「透析変形」となるのでイライラします！)

←問題へ戻る

ディクからの暗号

●

Q20-03	神輿
【コメント】問題の完成度がハンパないっすよね！こんな問題作ってみたい！！【解答】順番は、四角形→三角形→平行四辺形→長方形→正方形です。「作図せよ」とか言いながら、この解答では「やり方」しか紹介してなくて本当にすみませんm(_ _)m まず、三角形への変形は上の問題でも取り扱った通りです。 △ABCで点Aから直線BCへ垂線AHを下ろします。線分AHの二等分点を通り、直線BCと平行な直線を引きます。これで、同じ面積の底辺BC、高さAH/2である平行四辺形ができました。ここから長方形へは説明するまでもありませんね(笑) そして、最後の難関：正方形です！ (正直、問題としては、この部分だけでもいいんです。) (欲しいのは、長さ√abの線分ですね。私は「方べきの定理」を利用しました。) 直径a＋bの円を描いて、その直径をPRとして、線分PR上に、PQ＝a, QR＝bとなるように、点Qを定める。点Qを通る、線分PQの垂線を引き、その垂線と円との交点をそれぞれ点S、点Tとすると、SH＝THで、方べきの定理より、SH＝√ab 以上。 --「方べきの定理」とは-- ^{なぜこんな講義(？)をするのかというと、中学生でも解けるのでは、という気がしたからです。はじめから、たとえば、大学レベルの問題などでしたら解答はざっとしか書きません(笑)} 円周上に適当に、弦ABと弦CDを定めて、そのふたつの弦の交点を点Pとする。 (もし、そのふたつの弦が交わらなかったら、どんどん延長してください。でも、平行だったら閉口してしまいますね(←？)) このとき、PA×PB＝PC×PDであるというのが方べきの定理です。証明は、△PACと△PDBが相似なので明らかです！終わりー！ ←問題へ戻る
ディクからの暗号	●

Q20-03

神輿

【コメント】
問題の完成度がハンパないっすよね！
こんな問題作ってみたい！！

【解答】
順番は、四角形→三角形→平行四辺形→長方形→正方形です。
「作図せよ」とか言いながら、この解答では「やり方」しか紹介してなくて本当にすみませんm(_ _)m

まず、三角形への変形は上の問題でも取り扱った通りです。
△ABCで点Aから直線BCへ垂線AHを下ろします。
線分AHの二等分点を通り、直線BCと平行な直線を引きます。
これで、同じ面積の底辺BC、高さAH/2である平行四辺形ができました。
ここから長方形へは説明するまでもありませんね(笑)
そして、最後の難関：正方形です！
(正直、問題としては、この部分だけでもいいんです。)

(欲しいのは、長さ√abの線分ですね。私は「方べきの定理」を利用しました。)
直径a＋bの円を描いて、その直径をPRとして、線分PR上に、PQ＝a, QR＝bとなるように、点Qを定める。
点Qを通る、線分PQの垂線を引き、その垂線と円との交点をそれぞれ点S、点Tとすると、SH＝THで、
方べきの定理より、SH＝√ab
以上。

--「方べきの定理」とは--

^{なぜこんな講義(？)をするのかというと、中学生でも解けるのでは、という気がしたからです。

はじめから、たとえば、大学レベルの問題などでしたら解答はざっとしか書きません(笑)} 円周上に適当に、弦ABと弦CDを定めて、そのふたつの弦の交点を点Pとする。
(もし、そのふたつの弦が交わらなかったら、どんどん延長してください。
でも、平行だったら閉口してしまいますね(←？))
このとき、PA×PB＝PC×PDであるというのが方べきの定理です。
証明は、△PACと△PDBが相似なので明らかです！

終わりー！

←問題へ戻る

ディクからの暗号

●

Q20-04	日、腕、腹、砂、晴れ
【コメント】タイトルの右端の「晴れ」。いい曲だと思いますよ♪ 【雑解】長針と秒針は、約1分に1回重なる。短針と秒針も、約1分に1回重なる。 1日は1440分なので、約2880回重なる。ところが、長針では、□時59分60秒と(□＋1)時00分00分の2回数えてしまっている箇所があるので、24回分引く。また、短針では、11時59分60秒と12時00分00秒の2回分数えてしまっている箇所があるので、2回分引く。よって、答えは、2880－24－2＝2854回となる。そういえば、長いと短いを使ってしまったから「秒針」という苦しいネーミングは笑ってしまいますね。はじめから、「時針」「分針」と言えばいいのにな、などと思いますが、たぶん、そう言い方をしている人もどこかにいるのでしょう、私が出会ったことが無いだけで…。あと英語の授業とかで「主語」「目的語」「補語」なのにどうして「動詞」って言うんでしょうね？「述語」で統一すればいいのに・・・ ←問題へ戻る
ディクからの暗号	●

Q20-04

日、腕、腹、砂、晴れ

【コメント】
タイトルの右端の「晴れ」。
いい曲だと思いますよ♪

【雑解】
長針と秒針は、約1分に1回重なる。
短針と秒針も、約1分に1回重なる。
1日は1440分なので、約2880回重なる。
ところが、長針では、□時59分60秒と(□＋1)時00分00分の2回数えてしまっている箇所があるので、24回分引く。
また、短針では、11時59分60秒と12時00分00秒の2回分数えてしまっている箇所があるので、2回分引く。
よって、答えは、2880－24－2＝2854回となる。

そういえば、長いと短いを使ってしまったから「秒針」という苦しいネーミングは笑ってしまいますね。
はじめから、「時針」「分針」と言えばいいのにな、などと思いますが、たぶん、そう言い方をしている人もどこかにいるのでしょう、私が出会ったことが無いだけで…。

あと英語の授業とかで「主語」「目的語」「補語」なのにどうして「動詞」って言うんでしょうね？
「述語」で統一すればいいのに・・・

←問題へ戻る

ディクからの暗号

●

Q20-05	ふつうの計算問題es((2)が手作り)
【コメント】別に、ばらばらな3題を入れたからって、Q20-06がナシという方向の理由にならないことは、このサイトを訪れている賢人の皆さまならおわかりのことだと思いますが、要するに私の手抜きです… 【解答】（1）A＝(5/9)(A－32)より、A＝40度……(答) この公式を知っているか、教養はあるかを問うた問題でした！で、私は、どっちがどっちか忘れてしまったのですが、たぶん「熱があるのが華氏100度くらい」だった気がします。だから、f＝(5/9)(c－32)でしょうかね、きっと。もちろん、fが華氏、cが摂氏ですよね。（2）組合せの計算問題ですね。 nＣr＝(n！)/(r！(n－r)！)なので、がちゃがちゃ計算して、答えは1になります。（3）これ、久しぶりにやったら、不定積分とか使うやつだっけ、って思ってしまい、ずっと悩んでました…(恥) でも、なんてことはない問題でした。数学の教科書っぽく書いてみます。　√(1＋…＋n)－√(1＋…＋(n－1)) ＝√(n(n＋1)/2)－√(n(n－1)/2) ＝√(n/2)(√(n＋1)－√(n－1))…① ここで、右の因子を、有理化の逆みたいなやつで、でも無理化とは言わない、あの方法で、 √(n＋1)－√(n－1)＝2/(√(n＋1)＋√(n－1)) と、式変形できるので、 ①＝2√(1/2)√1/(√(1＋(1/n))＋√(1－(1/n))) よって、 n→∞のとき、①→√(1/2)＝(√2)/2……(答) う～ん、やっぱりPC上ではふつうに左に詰めて書いた方がいいのかなぁ？ "＝"もずれちゃうし… ←問題へ戻る
ディクからの暗号	●

Q20-05

ふつうの計算問題es((2)が手作り)

【コメント】
別に、ばらばらな3題を入れたからって、Q20-06がナシという方向の理由にならないことは、このサイトを訪れている賢人の皆さまならおわかりのことだと思いますが、要するに私の手抜きです…

【解答】
（1）A＝(5/9)(A－32)より、A＝40度……(答)
この公式を知っているか、教養はあるかを問うた問題でした！
で、私は、どっちがどっちか忘れてしまったのですが、たぶん「熱があるのが華氏100度くらい」だった気がします。
だから、f＝(5/9)(c－32)でしょうかね、きっと。
もちろん、fが華氏、cが摂氏ですよね。

（2）組合せの計算問題ですね。
nＣr＝(n！)/(r！(n－r)！)なので、がちゃがちゃ計算して、答えは1になります。

（3）これ、久しぶりにやったら、不定積分とか使うやつだっけ、って思ってしまい、ずっと悩んでました…(恥)
でも、なんてことはない問題でした。

数学の教科書っぽく書いてみます。

　√(1＋…＋n)－√(1＋…＋(n－1))
＝√(n(n＋1)/2)－√(n(n－1)/2)
＝√(n/2)(√(n＋1)－√(n－1))…①

ここで、右の因子を、有理化の逆みたいなやつで、でも無理化とは言わない、あの方法で、

√(n＋1)－√(n－1)＝2/(√(n＋1)＋√(n－1))
と、式変形できるので、
①＝2√(1/2)√1/(√(1＋(1/n))＋√(1－(1/n)))
よって、
n→∞のとき、①→√(1/2)＝(√2)/2……(答)

う～ん、やっぱりPC上ではふつうに左に詰めて書いた方がいいのかなぁ？
"＝"もずれちゃうし…

←問題へ戻る

ディクからの暗号

●