§19 マスマス水族館

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　　　セクション19「マスマス水族館」の答え　　

Q19-01	引き抜かないで(算数オリンピック)
【コメント】そう、その「隠し芸」で、私が一言言いたいものがふたつあるんです。 (↑じゃあ二言じゃんというのは置いておいて…) ひとつは、「テーブルクロス引き抜き」せっかく敷いたんだから引き抜かないでほしい…。じゃあ、食べ終わってから引き抜けばいいと考えるかもしれませんが、テーブルクロスを最後にするから一連の後片づけがキレイにまとまるのであって、やっぱり、食器が乗っているときにはしないでほしい…。食器をどかしたら、バッって引き抜いていいよ。 ^{(↑意味ねー)} もうひとつが、「皿まわし」たまたま、どっちも料理につながっていますが、お皿は料理を乗せるためのものなので、まわしている場合ではないと思います。でもね、でもね…… ^{皿まわしって、やってみるとハマるよ……(笑)} 【解答】この問題は、小学校の算数が難しいことを示してくれる良問。数学や算数の難しさは、小学校＞中学校＞高校だと思っています。問題文からすぐに、正方形の対角線が3mとわかる。ここから、1辺を出そうとしたら、もうそれは中学の範囲です。だめ～。ここで、このような図から、面積は、9/2……(答) (小学生っぽく、小数を使って、4.5としてもいい) (↑この図は、ひし形の面積の求め方の説明図でもありますが、そんなことを知らなくてもひらめくことができれば小学生でも解けてしまうんですね。おそるべし、算数オリンピック！) 「図から」と書いてますが、まだ図は描いてません…。ほらっ、想像できる限りのmind集めて！そういえば、小数のことを「小数点」と言う奴、嫌い。「小数点の計算が苦手～」とか、のたまうんですが、聞いてて腹が立ちます…。私は、小数点は計算できないと思います(大笑) ←問題へ戻る
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Q19-01

引き抜かないで(算数オリンピック)

【コメント】
そう、その「隠し芸」で、私が一言言いたいものがふたつあるんです。
(↑じゃあ二言じゃんというのは置いておいて…)
ひとつは、「テーブルクロス引き抜き」
せっかく敷いたんだから引き抜かないでほしい…。
じゃあ、食べ終わってから引き抜けばいいと考えるかもしれませんが、テーブルクロスを最後にするから一連の後片づけがキレイにまとまるのであって、やっぱり、食器が乗っているときにはしないでほしい…。
食器をどかしたら、バッって引き抜いていいよ。
^{(↑意味ねー)}
もうひとつが、「皿まわし」
たまたま、どっちも料理につながっていますが、お皿は料理を乗せるためのものなので、まわしている場合ではないと思います。
でもね、でもね……

^{皿まわしって、やってみるとハマるよ……(笑)}

【解答】
この問題は、小学校の算数が難しいことを示してくれる良問。
数学や算数の難しさは、小学校＞中学校＞高校だと思っています。

問題文からすぐに、正方形の対角線が3mとわかる。
ここから、1辺を出そうとしたら、もうそれは中学の範囲です。
だめ～。
ここで、このような図から、面積は、9/2……(答)
(小学生っぽく、小数を使って、4.5としてもいい)
(↑この図は、ひし形の面積の求め方の説明図でもありますが、そんなことを知らなくてもひらめくことができれば小学生でも解けてしまうんですね。おそるべし、算数オリンピック！)

「図から」と書いてますが、まだ図は描いてません…。
ほらっ、想像できる限りのmind集めて！

そういえば、小数のことを「小数点」と言う奴、嫌い。
「小数点の計算が苦手～」とか、のたまうんですが、聞いてて腹が立ちます…。
私は、小数点は計算できないと思います(大笑)

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Q19-02	いるか１
【コメント】お前のものはオレのもの。オレのものはオレのもの。を「ジャイアン論法」って言うんですか？！ところで、この問題、なんかあいまいですね。あなたが、下の解答に納得されなくても、それは単に、私の力不足ですので、広い心で許してくださると助かります。【解答】使用するのは恒等式の知識…。 (x＋y)²＝x²＋2xy＋y² 　　　＝(x－y)²＋4xy ここで、x→m², y→n²とおくと、この式は、 (m²＋n²)²＝(m²－n²)²＋(2mn)²　　証明終あとは、mとnに好きな、または、嫌いな(？)自然数を入れれば、好きなだけピタゴラス数を手に入れられる。ここで、この結果を覚えておくか、上の解法を覚えておくかが悩ましいです…。前者は暗記に自信がない私にはきついですし、後者は結果を忘れてしまって果たして導けるのかという不安があります…。 ←問題へ戻る
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Q19-02

いるか１

【コメント】
お前のものはオレのもの。
オレのものはオレのもの。
を「ジャイアン論法」って言うんですか？！

ところで、この問題、なんかあいまいですね。
あなたが、下の解答に納得されなくても、それは単に、私の力不足ですので、広い心で許してくださると助かります。

【解答】
使用するのは恒等式の知識…。
(x＋y)²＝x²＋2xy＋y²
　　　＝(x－y)²＋4xy
ここで、x→m², y→n²とおくと、この式は、
(m²＋n²)²＝(m²－n²)²＋(2mn)²　　証明終

あとは、mとnに好きな、または、嫌いな(？)自然数を入れれば、好きなだけピタゴラス数を手に入れられる。

ここで、この結果を覚えておくか、上の解法を覚えておくかが悩ましいです…。
前者は暗記に自信がない私にはきついですし、後者は結果を忘れてしまって果たして導けるのかという不安があります…。

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Q19-03	いるか２
【コメント】「♪イルカはザンブラコ」をご存じですか？きっとヘ長調でおなじみだと思います。 1番ではイルカですが、2番ではバッタ、3番ではカエルです。私、気づいちゃいました。これはべ～すぼ～るの曲です。 2番バッターの一振りで3番の選手が帰る曲です。でも、2番バッターのおかげで3番バッターが帰るという状況は少々きついので、3番というのは背番号でしょうね。「あのひと」でしょうか？また、この曲の中には「こえろよ」「とびこせ」「かえるよ」などの歌詞があり、やっぱり、BASEBALLソングですよ！さらに、ヘ長調はFメジャーといいます。「メジャー」です！ところで、急に話は切り替わりますが、これは良問です。人に薦めても恥ずかしくない問題。でも、多少、有名らしいです…。【解答】＜準備＞まず、mを自然数とし、x＝3m, y＝3m＋1, z＝3m＋2とおく。 (↑学校ではこれが主流ですが、z＝3m－1とおいても全く同じ意味ことです) (さらに、見通しが立っているのなら、この問題では、yとzをまとめて、y＝3m±1としてもいいです。(あとで2乗するので)) x²は3の倍数。y²とz²は、どちらも、3で割ると1余る数。同様に、nを自然数とし、s＝5n, t＝5n＋1, u＝5n＋2, v＝5n＋3, w＝5n＋4とおいて、 s²は5の倍数。t²とw²は5で割ると1余る数。u²とv²は5で割ると4余る数。＜準備終わり！＞ 60の倍数ということは、3の倍数かつ4の倍数かつ5の倍数である。 aもbも共に3の倍数でない、すなわち、a＝3i±1, b＝3j±1とする。 c²＝a²＋b² 　＝3で割ると2余る数。しかし、上の＜準備＞より、2乗して「3で割ると2余る数」は無いので、矛盾。よって、aまたはbは3の倍数である。全く同様に、aまたはbは5の倍数である。また、p, q(p＞q)を自然数として、a＝(p＋q)(p－q), b＝2pq, c＝p²＋q²と表せる。 pとqのうち少なくともひとつが偶数ならbが4の倍数で、共に奇数ならaが4の倍数である。以上より、積abcは60の倍数であるといえた。　　証明終 (文字、使いすぎました…。たとえば、x, y, zではなく、x1, x2, x3などと添え字を利用するともっときれいになりますね) あっ、別に、何長調でも「メジャー」がつきますね。また、短調でも「マイナー」がつくのでやっぱりこじつけなのか？それとも、メジャーリーガーでイニシャルがFの2番バッターの人の曲なのか？！そんな人いるか？ ←問題へ戻る
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Q19-03

いるか２

【コメント】
「♪イルカはザンブラコ」をご存じですか？
きっとヘ長調でおなじみだと思います。

1番ではイルカですが、2番ではバッタ、3番ではカエルです。
私、気づいちゃいました。これはべ～すぼ～るの曲です。
2番バッターの一振りで3番の選手が帰る曲です。
でも、2番バッターのおかげで3番バッターが帰るという状況は少々きついので、3番というのは背番号でしょうね。
「あのひと」でしょうか？
また、この曲の中には「こえろよ」「とびこせ」「かえるよ」などの歌詞があり、やっぱり、BASEBALLソングですよ！
さらに、ヘ長調はFメジャーといいます。「メジャー」です！

ところで、急に話は切り替わりますが、これは良問です。
人に薦めても恥ずかしくない問題。でも、多少、有名らしいです…。

【解答】
＜準備＞
まず、mを自然数とし、x＝3m, y＝3m＋1, z＝3m＋2とおく。
(↑学校ではこれが主流ですが、z＝3m－1とおいても全く同じ意味ことです)
(さらに、見通しが立っているのなら、この問題では、yとzをまとめて、y＝3m±1としてもいいです。(あとで2乗するので))
x²は3の倍数。y²とz²は、どちらも、3で割ると1余る数。
同様に、nを自然数とし、s＝5n, t＝5n＋1, u＝5n＋2, v＝5n＋3, w＝5n＋4とおいて、
s²は5の倍数。t²とw²は5で割ると1余る数。u²とv²は5で割ると4余る数。

＜準備終わり！＞

60の倍数ということは、3の倍数かつ4の倍数かつ5の倍数である。
aもbも共に3の倍数でない、すなわち、a＝3i±1, b＝3j±1とする。
c²＝a²＋b²
　＝3で割ると2余る数。
しかし、上の＜準備＞より、2乗して「3で割ると2余る数」は無いので、矛盾。よって、aまたはbは3の倍数である。
全く同様に、aまたはbは5の倍数である。
また、p, q(p＞q)を自然数として、a＝(p＋q)(p－q), b＝2pq, c＝p²＋q²と表せる。
pとqのうち少なくともひとつが偶数ならbが4の倍数で、共に奇数ならaが4の倍数である。
以上より、積abcは60の倍数であるといえた。　　証明終

(文字、使いすぎました…。
たとえば、x, y, zではなく、x1, x2, x3などと添え字を利用するともっときれいになりますね)

あっ、別に、何長調でも「メジャー」がつきますね。
また、短調でも「マイナー」がつくのでやっぱりこじつけなのか？
それとも、メジャーリーガーでイニシャルがFの2番バッターの人の曲なのか？！
そんな人いるか？

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Q19-04	波音砕け散る飛沫…あぶくば…(手作り問題)
【コメント】きっと西海岸で獲れた問題。【解答】 x方向にk(≠0)倍するなら、xをx/kとおけばいい。よって、x軸方向にa/c倍し、y軸方向にa/c倍した2次関数のグラフの式は、 (c/a)y＝a((c/a)x)²＋b(c/a)x＋c この両辺にaをかけて、元の式と連立させると、　　cy＝c²x²＋bcx＋ac －）cy＝acx²＋bcx＋c²（←下線が切れてしまいますね～）　0＝c(c－a)x²＋c(a－c) a≠cより、x²＝1 ∴(x, y)＝(1, a＋b＋c), (－1, a－b＋c)……(答) きれいですね。 ←問題へ戻る
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Q19-04

波音砕け散る飛沫…あぶくば…(手作り問題)

【コメント】
きっと西海岸で獲れた問題。

【解答】
x方向にk(≠0)倍するなら、xをx/kとおけばいい。
よって、x軸方向にa/c倍し、y軸方向にa/c倍した2次関数のグラフの式は、
(c/a)y＝a((c/a)x)²＋b(c/a)x＋c

この両辺にaをかけて、元の式と連立させると、
　　cy＝c²x²＋bcx＋ac
－）cy＝acx²＋bcx＋c²（←下線が切れてしまいますね～）
　0＝c(c－a)x²＋c(a－c)
a≠cより、x²＝1
∴(x, y)＝(1, a＋b＋c), (－1, a－b＋c)……(答)

きれいですね。

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Q19-05	ひとで(手作り問題)
【コメント】といっても、このセクションは水族館のお話なので大量発生とかあまりありませんね。似ている問題、お暇な方は探してみてください(笑) [良問集]内には、結構似ている問題があります…(笑) 【雑解】解答は、実際に解いて下さった人向けなので、このくらいでも伝わると私は強く信じています！重心からある頂点までの距離をrとおく。 S＝(1/2)nr²sin(2π/n)とおくと、求める面積はaSである。 (Sからrを消したい…) 余弦定理より、 a²＝r²＋r²－2・r・r・cos(2π/n) これをaSに代入して、整理すると、 (分子)＝a²nsin(2π/n) (分母)＝4(1－cos(2π/n)) aS＝(分子)/(分母)……(答) ちなみに、n＝2を代入すると、ちゃんと0になる！ n＝1のときは(厳密には、n→1－0)、たぶん、無限に発散でしょうか。 ←問題へ戻る
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Q19-05

ひとで(手作り問題)

【コメント】
といっても、このセクションは水族館のお話なので大量発生とかあまりありませんね。

似ている問題、お暇な方は探してみてください(笑)
[良問集]内には、結構似ている問題があります…(笑)

【雑解】
解答は、実際に解いて下さった人向けなので、このくらいでも伝わると私は強く信じています！

重心からある頂点までの距離をrとおく。

S＝(1/2)nr²sin(2π/n)とおくと、求める面積はaSである。
(Sからrを消したい…)
余弦定理より、
a²＝r²＋r²－2・r・r・cos(2π/n)
これをaSに代入して、整理すると、
(分子)＝a²nsin(2π/n)
(分母)＝4(1－cos(2π/n))
aS＝(分子)/(分母)……(答)

ちなみに、n＝2を代入すると、ちゃんと0になる！
n＝1のときは(厳密には、n→1－0)、たぶん、無限に発散でしょうか。

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Q19-06	グッピー(手作り問題)
【コメント】やっぱり、別れは寂しいものですね。でも、100年もしたらみんな同じところで会えるんだし、いいんじゃないですか？ところで、数えてみると意外と多い！【答え】 ~~たぶん、どっちも36個…。~~ 違います！正五角形の中の三角形が35個で、格子の中の長方形が36個です。すみません。でも、小学生とかに出してみると(←もうそんな機会はありませんけど)、なかなか30個以上見つけられる人はいなんじゃないかなと思います…。 ←問題へ戻る
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Q19-06

グッピー(手作り問題)

【コメント】
やっぱり、別れは寂しいものですね。
でも、100年もしたらみんな同じところで会えるんだし、いいんじゃないですか？

ところで、数えてみると意外と多い！

【答え】
~~たぶん、どっちも36個…。~~

違います！正五角形の中の三角形が35個で、格子の中の長方形が36個です。すみません。
でも、小学生とかに出してみると(←もうそんな機会はありませんけど)、なかなか30個以上見つけられる人はいなんじゃないかなと思います…。

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