セクション21「セブンマート」の答え
セクション21「セブンマート」の答え
| Q21-01 | どっちだスタイル |
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| 【コメント】 I think 問題のタイトルがカッコイイ！ 英語で書いたら"DOCCHIDA style"でしょうか？ 全米を感動の渦に巻き込んだ超話題作がついに日本上陸！！ DOCCHIDA style！！！ …みたいな(？) 【解答】 ｘ＝(a＋1)((a＋2)/2)((a＋3)/3)……((a＋b)/b) ＝(a＋1)(a＋2)……(a＋b)/(b！) 同様に、 ｙ＝(b＋1)(b＋2)……(b＋a)/(a！) ここで、a＜bに注意して、因子を小さい順に並べると、 (xの分子)＝(a＋1)(a＋2)……(b−1)b(b＋1)……(a＋b−1)(a＋b) (xの分母)＝1・2・…・(a−1)a(a＋1)……(b−1)b と書ける。よく見ると約分できて、 (xの分子)＝(b＋1)(b＋2)……(b＋a) (xの分母)＝1・2・…・(a−1)a これは、ｙそのもの。 よって、答えは、x＝y 美しいですね。 ←問題へ戻る | |
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| Q21-02 | ヒウクス(手作り問題) |
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| 【コメント】 意味わかんない問題だけど、なぜか好き。 「すべて」とか、ちょっとやっかい。 【雑解】 （左辺）＝a2（a−b）（11a−b2）…@ また、2007＝32×223 よって、a＝1またはa＝3である。 （ｉ）a＝1のとき、 @＝（b−1）（bb−11） b−1の候補は、3, 32, 223, 3×223, 32×223 b＝4を@に代入すると、不適。 b＝10を@に代入しても、不適。 また、これより大きい数でも明らかに不適。 （ｉｉ）a＝3のとき、 @＝9（b−3）（bb−33） b−3の候補は、1, 223 b＝4を@に代入すると、9×1×223となり、適。 b＝227を@に代入すると、不適。 よって、（a, b）＝（4, 3）……(答) ←問題へ戻る | |
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| Q21-03 | カナトウ（手作り問題） |
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| 【コメント】 (あえて、いつぞやと、まったく同じコメントを書いてしまいます…) 問題文で何か「新しく定義をしているもの」があるときは、慎重にやらなければなりません。 でも、そういう問題は意外と簡単だったりします！ 入試問題において、そういう問題の狙いは、「聞いたことのないルールに戸惑った人」と「よく読まず勝手に解釈して全然トンチンカンな解答をする人」を落とすこと。 または「臨機応変に物事に対応できる人」と「人の話をしっかりと理解できる人」を選ぶことと言ってもいいかもしれません。 【雑解】 素因数分解で出てくるのは素数のみ。1は出てこない。2けた以上なら一の位は5以外の奇数。などを前提に、 xとyとx＋yの素因数分解の形より、 a＝2または3または5または7 b＝2または3または5または7 c＝3または7 d＝1または3または7 e＝3または7 互いに異なるので、ちょうど(1, 2, 3, 5, 7)の組合せである。 で、その組合せなので、d＝1しかありえない。 yは素数だが、1333＝31×43なので、y＝1777 よって、c＝7, e＝3 あとは、(a, b)＝(2, 5)と(5, 2)の場合で調べて、(x＋y)−x＝1777となれば適である。 よって、(a, b)＝(2, 5) 以上より、x＝2912、y＝1777 ところで、問題編のコメントにある「素人ならではの欠陥」とは？？？ それは、x−yの条件式がいらないということです。 素人が数学の問題を作ると、いらない条件を含めてしまうことがあるんです。 でもそれを指摘すると、問題を作った人は必ずこう言うでしょう…。 「解く人を惑わせるためだ」 うざい…。 そんなことを書きながらも、私も素人なので、ミスだらけの毎日です…。 ←問題へ戻る | |
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| Q21-04 | リノイガ（手作り問題） |
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| 【コメント】 リノイガってかっこよくないですか？ ポ＊モンに出てきそうじゃありませんか？ 【解答】 a＋ab＋b＝n ⇔(a＋1)(b＋1)＝n＋1 A＝a＋1, B＝b＋1, N＝n＋1とおくと、AB＝N (AkBk＝Nならば、対称性より、Ak＝B9−kと考えられる★) a1＋a2＋……＋a8＝3772より、 A1＋A すなわち、Nの正の約数の総和が3780である。 (たとえば、A1＝1ならば、A8＝Nですね♪) ここで、 N＝p1s1・p2s2・…・pmsmと、素因数分解できるとする。 (もちろん、smは、smの意味) また、 S＝(1＋p11＋……＋p1s1)(1＋p21＋……＋p2s2)・…・(1＋pm1＋……＋pmsm) を展開すると、Nの正の約数がすべて得られるので、SはNの正の約数の総和そのものである。 (ここでは、S＝3780ですね！) しかし、実は、この式を直接はまだ使わず(←もう少し待ってて)、正の約数の「個数」に注目する。 Sの右辺の式より、正の約数の個数は、 (1＋s1)(1＋s2)・…・(1＋sm) という式で表せることがわかる。 ここでは、 8＝(1＋s1)(1＋s2)・…・(1＋sm) だが、s1, s2, ……, smはすべて1以上なので、各因子は2以上。 したがって、 (1＋s1)(1＋s2)＝(1＋1)(1＋3)＝2×4……(ｉ) または、 (1＋s1)(1＋s2)(1＋s3)＝(1＋1)(1＋1)(1＋1)＝2×2×2……(ｉｉ) の2通りしかない。 すなわち、 N＝p11・p23……(ｉ) または、 N＝p11・p21・p31……(ｉｉ) (ｉ)のとき、 S＝3780＝(1＋p11)(1＋p21＋p22＋p23) 右辺の右の因子を、f(p2)とおくと、 f(p2) ＝(1＋p21＋p22＋p23) ＝(1＋p2)(1＋p22)と、因数分解できる。 (以下の計算をラクにするためのみの因数分解！) p2＝2のとき、f(2)＝15 p2＝3のとき、f(3)＝40、つまり、Sが8の倍数となり不適 p2＝4のとき、f(4)＝85、つまり、Sが17の倍数となり不適 p2＝5のとき、f(5)＝156、つまり、Sが13の倍数となり不適 p2＝6のとき、f(6)＝229、つまり、Sが37の倍数となり不適 ・・・(略)・・・ p2＝13のとき、f(13)＞S、明らかに不適 (↑(略)なんて書きましたが、実際には「いくつまでやればいいのか」って嫌になってくるから、目安として、 3772/2＝1666をヒントにしました！ 一方、√3772≒61は、別の解き方をすると、そんな目安も必要になることもあるかなと思って書きました！) p2＝2のときのみ、p1＝251とすると適する。 (ｉｉ)のとき、 S＝3780＝(1＋p1)(1＋p2)(1＋p3) この各因子は、素数＋1より、すべて合成数である。 また、3780＝2・2・3・3・3・5・7(7個)より、 Sの右辺の3つの因子には、この7個のうちから、(2個, 2個, 3個)の組合せとなる。 しかし、7個の中から2個を選んで、積を計算してそれから1を引いて素数になるのは(2と2(4→3)), (2と3(6→5)), (2と7(14→13))の3組しかないため、候補は、 (1＋p1)(1＋p2)(1＋p3)＝(2・3)(2・7)(3・3・5)の1組になるが、 3・3・5＝45, 45−1＝44は素数でないので不適。 以上より、適するのは(ｉ)のときの、p1＝251, p2＝2のみで、 N＝p11・p23に代入すると、N＝2008 ∴n＝2007……(答) ふう〜、やっと終わった…。 指数とか、添え字ばかりだから、コピペを駆使してすら、入力が大変面倒でした！ この問題の解答をここに書くだけで、1時間は掛かってます… ←問題へ戻る | |
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| Q21-05 | わっ１ |
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| 【コメント】 あんびゅらんすとは、救急車。 あんびしゃすでも、あんばらんすでもありません…。 【答え】 答えは、9×99で、891です。 おっ、白衣(891)ですよ。女性の看護師さんです。やっぱりあんびゅらんすもヒントでした。 ←問題へ戻る | |
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| Q21-06 | わっ２ |
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| 【コメント】 「道徳」といえば、教科書のお話を読んだら題名のところに○をつけていたあの穏やかな日差しが心地よかった夏の日々を思い出す…。 数学は、道徳が不得手の「冷たさ」を武器に戦うだ。 「数学にあたたかさを導入できるか」というテーマは、私がほんのすこし大切にしている宿題…。 【解答】 もちろん、 10＋100＋…＋1000000000−1−1−…−1 ＝11111111111−9 ＝11111111102……(答) 等差数列とか等比数列の知識は全く使わないスマートな解答でした。 知識が邪魔をしてしまういい例だと思いますが、いかがでしたか？ ←問題へ戻る | |
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