§03 紅葉銭湯の答え

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　　　セクション3「紅葉銭湯」の答え　　

Q03-01	円と面積
【コメント】煙突掃除のおじさんとかも完全に、こ＊亀の両津＊吉の子供の頃の下町の世界観です…。 p丁目の夕日とかもそうですか？私、見てないのでわかりません。 (ちなみにpには、奇数の中で最小の素数が入るかと思われます) というわけで、この問題やっぱり好きです。さっそく解答を見ながら感動していきましょう！【解答】解法① ヒントを参考にして、問題に書かれていない長さは自由なので、内部の円の半径はいくらでも、あの弦が8でありさえすればよい。 (意味がわからない人は、この文はそのままスルーという方向でOKです) その弦＝8を保ったまま内部の円を小さくしていくと、消えて、その弦は大きい方の円の直径に一致する。よって、求める面積は、16π……(答) もちろん、これは正しい。でも、正確には「問題が正しい」ときこの解法が正しい。解法② こっちが厳密！大きい方の円の半径をR、小さい方の円の半径をrとおく。求める面積は、πR²－πr²である。ここで、三平方の定理より、R²－r²＝4²なので、答えは、16π 解法①と同じ答えですね。 ←問題へ戻る
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Q03-01

円と面積

【コメント】
煙突掃除のおじさんとかも完全に、こ＊亀の両津＊吉の子供の頃の下町の世界観です…。
p丁目の夕日とかもそうですか？
私、見てないのでわかりません。
(ちなみにpには、奇数の中で最小の素数が入るかと思われます)

というわけで、この問題やっぱり好きです。
さっそく解答を見ながら感動していきましょう！

【解答】
解法①
ヒントを参考にして、問題に書かれていない長さは自由なので、内部の円の半径はいくらでも、あの弦が8でありさえすればよい。
(意味がわからない人は、この文はそのままスルーという方向でOKです)
その弦＝8を保ったまま内部の円を小さくしていくと、消えて、その弦は大きい方の円の直径に一致する。
よって、求める面積は、16π……(答)

もちろん、これは正しい。
でも、正確には「問題が正しい」ときこの解法が正しい。

解法②
こっちが厳密！
大きい方の円の半径をR、小さい方の円の半径をrとおく。
求める面積は、πR²－πr²である。
ここで、三平方の定理より、R²－r²＝4²なので、
答えは、16π
解法①と同じ答えですね。

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Q03-02	球と立方体と体積と
【コメント】やっぱり、与えられた問題をただ解くのではなく「そんなに立体が中に収まっているなんて一体何があったの？」って想いを巡らせてみる方が面白いです。あとは、英語の例文で"This is a pen. "なんてのも「これはペンです。」なんて訳さないで「バカにしてんのか、ペンくらいわかるし」と解釈したり「あっ、これは幼児へ言う文なんだな」とかつまらない発想をしたり「もしかして、患者さんの記憶喪失度合いをテストしているお医者さんのセリフかも」と、シリアスに考えてもおもしろいですね。まさか、病院の先生、しかも、担当主治医が犯人だったとはね！ (↑言うなよ！) (↑というか、コナンネタかよ…) …と、書いていましたが、やっぱり、複数の解釈がありました！「半径rの球に内接する、立方体に内接する球に内接する立方体の体積と考えると問題がかんたんになる」とのことです。つまり、きっと、どんな球も立方体をうまく選べば内接させられるから・・・ってことですが、もう略す！このご指摘を受けたとき、私はプログラミングの"IF～THEN(IF～, ELSE～)"と"IF～THEN(IF～)ELSE"の違いのような、そんなものを思い浮かべた。ところで、ご指摘してくださった方、ハンドルネーム書いてもいいかしら？でもね、私が一番言いたいのは、数学でよく聞く「うまく選ぶ」とかズルくない、ってこと。別にご指摘してくださった方に言っているのではありませんが、私は具体的に想いを巡らせてみる方が好きです。仮想的な立方体を想像すればかんたんに「うまく選べる」のですが、現実的には・・・って思っちゃう。「「学問」として成り立っている、抽象化によって世の役に立つ数学」の世界よりも、「ただ解けて嬉しい数学」の世界が好きだ。 (↑わがまま…) さっさと解答行きましょう！【雑解】半径rの球に内接する立方体の一辺は、(2/√3)r 一辺がxの立方体に内接する球の半径は、x/2 これをふまえて、体積を求める立方体の一辺は(2/3)rなので、体積は、(8/27)r³……(答) ちなみに、半径rの球の体積は、(4/3)πr³ですね。上のような興味深い解釈をされた方は、立方体の体積の計算が1段階減るから、答えは、(8√3/9)r³かしら。「＊＊のように解釈する」と実際に解答に明記してこの答えを出されたのでしたら、もちろん、○(正解)ですよね！ ←問題へ戻る
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Q03-02

球と立方体と体積と

【コメント】
やっぱり、与えられた問題をただ解くのではなく「そんなに立体が中に収まっているなんて一体何があったの？」って想いを巡らせてみる方が面白いです。
あとは、英語の例文で"This is a pen. "なんてのも「これはペンです。」なんて訳さないで「バカにしてんのか、ペンくらいわかるし」と解釈したり「あっ、これは幼児へ言う文なんだな」とかつまらない発想をしたり「もしかして、患者さんの記憶喪失度合いをテストしているお医者さんのセリフかも」と、シリアスに考えてもおもしろいですね。
まさか、病院の先生、しかも、担当主治医が犯人だったとはね！
(↑言うなよ！)
(↑というか、コナンネタかよ…)

…と、書いていましたが、やっぱり、複数の解釈がありました！
「半径rの球に内接する、立方体に内接する球に内接する立方体の体積と考えると問題がかんたんになる」とのことです。
つまり、きっと、どんな球も立方体をうまく選べば内接させられるから・・・ってことですが、もう略す！
このご指摘を受けたとき、私はプログラミングの"IF～THEN(IF～, ELSE～)"と"IF～THEN(IF～)ELSE"の違いのような、そんなものを思い浮かべた。

ところで、ご指摘してくださった方、ハンドルネーム書いてもいいかしら？

でもね、私が一番言いたいのは、数学でよく聞く「うまく選ぶ」とかズルくない、ってこと。
別にご指摘してくださった方に言っているのではありませんが、私は具体的に想いを巡らせてみる方が好きです。
仮想的な立方体を想像すればかんたんに「うまく選べる」のですが、現実的には・・・って思っちゃう。
「「学問」として成り立っている、抽象化によって世の役に立つ数学」の世界よりも、「ただ解けて嬉しい数学」の世界が好きだ。
(↑わがまま…)

さっさと解答行きましょう！

【雑解】
半径rの球に内接する立方体の一辺は、(2/√3)r
一辺がxの立方体に内接する球の半径は、x/2
これをふまえて、体積を求める立方体の一辺は(2/3)rなので、体積は、(8/27)r³……(答)

ちなみに、半径rの球の体積は、(4/3)πr³ですね。

上のような興味深い解釈をされた方は、立方体の体積の計算が1段階減るから、答えは、(8√3/9)r³かしら。
「＊＊のように解釈する」と実際に解答に明記してこの答えを出されたのでしたら、もちろん、○(正解)ですよね！

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Q03-03	スパッ(手作り問題)
【コメント】解けましたか？ファイナルアンサーですか？【挑戦】（1）「オ)の六角形。ファイナルアンサー！」「もう1000万円には戻れません…」 (ビリビリ…) (変な顔しながら、時間延ばし) (このへんでCM…) (やっとCM明ける…) 「オ)の六角形。ファイナルアンサー！」「もう1000万円には戻れません…」 (ビリビリ…) (↑またここからかよ、ってこの瞬間、全国のお茶の間の気持ちが一つになりましたよね) …正解！（2）の方は二等分しているので(証明は、たぶんいらないでしょう！)、a³/2……(答) …というか「1000万円に戻れない」ってどこまでいくねん(°0°)／ ←問題へ戻る
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Q03-03

スパッ(手作り問題)

【コメント】
解けましたか？
ファイナルアンサーですか？

【挑戦】
（1）「オ)の六角形。ファイナルアンサー！」
「もう1000万円には戻れません…」
(ビリビリ…)

(変な顔しながら、時間延ばし)

(このへんでCM…)

(やっとCM明ける…)

「オ)の六角形。ファイナルアンサー！」
「もう1000万円には戻れません…」
(ビリビリ…)

(↑またここからかよ、ってこの瞬間、全国のお茶の間の気持ちが一つになりましたよね)

…正解！

（2）の方は二等分しているので(証明は、たぶんいらないでしょう！)、a³/2……(答)

…というか「1000万円に戻れない」ってどこまでいくねん(°0°)／

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Q03-04	検定問題
【コメント】でも、鉛筆でもうるさいかもね♪ それじゃあ、ダメじゃん、春＊亭昇＊です(？) (※別にファンではありません) 【解答】 10問正解する確率は、(1/2)¹⁰ 9問正解する確率は、9Ｃ1(1/2)⁹(1/2) 8問正解する確率は、8Ｃ2(1/2)⁸(1/2)² 7問正解する確率は、7Ｃ3(1/2)⁷(1/2)³ 互いに排反なので、確率の加法定理より求める確率は、これらの和。よって、73/1024……(答) ←問題へ戻る
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Q03-04

検定問題

【コメント】
でも、鉛筆でもうるさいかもね♪
それじゃあ、ダメじゃん、春＊亭昇＊です(？)

(※別にファンではありません)

【解答】
10問正解する確率は、(1/2)¹⁰
9問正解する確率は、9Ｃ1(1/2)⁹(1/2)
8問正解する確率は、8Ｃ2(1/2)⁸(1/2)²
7問正解する確率は、7Ｃ3(1/2)⁷(1/2)³
互いに排反なので、確率の加法定理より求める確率は、これらの和。
よって、73/1024……(答)

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Q03-05	検定2日目？（手作り問題）
【コメント】ここで初めて佳介クンが登場するんですね☆ 彼はこれからもたまに現れますのでお楽しみに♪ 実は、この問題は、長い間、私の中で未解決だったのですが、ついに解けました！そんなに簡単な問題ではないんです…。【雑解】大問１が小問4つで、すべてＴ、大問２が小問6つで、すべてＦであるとする。 (↑この考え方がnice！) あとは、いちいち地道に場合分けですが、何か？もし、書く気が起きればいつか書きます…。ここで、ちょっとお話を。全部Ｔ(Ｔが10個)にしたら6点で、全部Ｆ(Ｔが0個)にしたら4点です。ここで、Ｔの個数をTn、その期待値をP(Tn)とすると、なんと、 x-y平面において、y=P(Tn)のグラフは、直線になります。だから答えだけは、「変えない方がいい」となります。 ←問題へ戻る
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Q03-05

検定2日目？（手作り問題）

【コメント】
ここで初めて佳介クンが登場するんですね☆
彼はこれからもたまに現れますのでお楽しみに♪

実は、この問題は、長い間、私の中で未解決だったのですが、ついに解けました！
そんなに簡単な問題ではないんです…。

【雑解】
大問１が小問4つで、すべてＴ、大問２が小問6つで、すべてＦであるとする。
(↑この考え方がnice！)
あとは、いちいち地道に場合分けですが、何か？

もし、書く気が起きればいつか書きます…。

ここで、ちょっとお話を。
全部Ｔ(Ｔが10個)にしたら6点で、全部Ｆ(Ｔが0個)にしたら4点です。
ここで、Ｔの個数をTn、その期待値をP(Tn)とすると、
なんと、
x-y平面において、y=P(Tn)のグラフは、直線になります。
だから答えだけは、「変えない方がいい」となります。

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