数学良問集もくじ＞§07 マスマス動物園＞答え


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　　　セクション7「マスマス動物園」の答え　　



Q07-01難しい入試問題(東京学芸大参考)
【コメント】
この曲も名曲すぎてヤバイね(笑)
「♪ほ〜や〜い、イェイイェ」ですね(？)

【雑解】
x2＋y2＋z2＝1, y＋z＝1より、yz＝x2/2
yとzが存在するということは、t2−(y＋z)t＋yz＝0のtについての判別式が0以上と同値。
すなわち、12−4・x2/2≧0
これを解いて、−1/√2≦x≦1/√2……（1）の答え
(↑入試問題だから有理化すべきかも…)

y3＋z3＝1−3x2/2より、
x3＋y3＋z3＝x3＋1−3x2/2
あとは微分して（1）の範囲に注意して増減表をかけばよい。
x＝0のとき、最大値1, x＝−1/√2のとき、最小値(1−√2)/4をとる。……（2）の答え

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Q07-02答えがかわいいシリーズ（？）
【コメント】
PC(html)で、分数を書くのってすごく面倒くさいですよね。
なんとかしてよ、ビルゲ＊ツ〜。

【解答】
答えは、πですが、解答はいつか書きます。


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Q07-03答えがかわいいシリーズ　ファイナル　（はやっ）
【コメント】
はい、もう、このシリーズはもう終幕です。
ですが、いつか、急に「エピソードゼロ」とか言いながら復活するかもしれません…(笑)

【解答】
y＝f(x)とy＝g(x)の形にして解く。答えはπ。詳しい解答は作成中…。


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Q07-04富豪な符号（(2)は手作り問題）
【コメント】
「ふごうのふごう」なんて結構上手くないですか？
ダメですか？意味不明ですか？そうですか。
じゃあ「ひんじゃのひんじゃ」はどうですか？
しつこいですか？所詮おやじギャグですか。そうですか。

【解答】
確認：（1）はy＝ax2＋bx＋c、（2）はy＝−ax/b−c/b
また、グラフの形から（1）も（2）もa, b, cで0になるものはないことがわかる。

（1）上に凸より、aは負。y切片が正よりcは正。x＝1を代入すると、y＝a＋b＋cでグラフより、負。
x＝−1を代入すると、y＝a−b＋cでグラフより、正。グラフより異なる2つの実数解をもつので判別式b2＋4acは正。

bが残った。

これは解と係数の関係で解く。(2解の和)の符号と｛−(b/a)｝の符号が一致し、2解の和はグラフより負である。
したがって、bは負。

追記：
リンデンさんから興味深い解答をいただきました。

y'＝2ax＋bで、x＝0を代入して、y'＝b
グラフより、x＝0での接線の傾きは、負。
∴bは負。

とのことです。
美しいです。
微分って本当に強い。

でも、微分なんて「微かに分かっているだけ」なひとは解と係数の関係で解けるので大丈夫です。
一方で、高校生以上で解と係数の関係もわからないひとは・・・えっと・・・どうしましょう・・・(汗)

リンデンさん、本当にありがとうございました！
ばいきゅ〜

（2）「確認」の式変形がヒントになる。グラフより、傾き−a/bは正。y切片−c/bは正。x切片−c/aは負。
よって、(a,b,c)＝(正,負,正)または(負,正,負)となる。
どちらが正しいかを考える必要がないのは、(2)のもとも式の右辺が0だからなのですが、(a,b,c)＝(正,負,正)の方がキレイ。

では、なぜ（1）はすべて一意に決まるのかしら？
その手掛かりは（1）のyの係数は定数(ここでは1)で（2）のyの係数はb(ある意味変数)であることみたい…。


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Q07-05電卓が壊れたらそれは良問が生まれるとき
【コメント】
どうしようもない電卓だ…。

【雑解】
かんたんなので答えだけ。
844−373＝471
21×37＝777または37×21＝777


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Q07-06先生、コンパス忘れてきちゃいました
【コメント】
「先生、コンパス忘れてしまいましたが定規だけで平行線がかけました」なんて言いながら先生にノート見せたらびっくりされるかも？！

【雑解】
キーワードは「比」である。



水色@では、点Pを通る２本の線を適当に引く。
青色Aでは、水色とl,mとの交点を結ぶような2本の線を引く。
紫色Bでは、まず青どうしの交点からl,mへ線を引き、次に水色のようにバツをかきその赤い交点と点Pを結べば平行線になる。

(2)は作成中…


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