数学良問集もくじ＞§08 マスマス遊園地＞答え


ひとめでわかるように、答えのページは背景が白いのよ。


　　　セクション8「マスマス遊園地」の答え　　



Q08-01 手作りだった気がするけどそうじゃないのに手作りって書いたら怒られるしな…
【コメント】
ほんとに解けましたか？なら、mailください(笑)

【解答？】
この数列の理想的な末項は1である。ここから逆にたどっていくと、1,1,2,3,5,8,13,…となり、これはフィボナッチ数列である。
フィボナッチ数列において、第n項と第n＋1項は、黄金比(1：(√5−1)/2)になっているから、100を(√5−1)/2で割って、61.8…
この付近で調べると、a＝62のとき、{A(n)}＝100,62,38,24,14,10,4で、n＝7が答え。

※黄金比の知識を使うところがズルいし、その解き方で正しい答えが(導けそうだけど)導けるという保証はない。いずれにせよ、ここでは初項が100だから99回調べれば解けるけどそれではnonsense？


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Q08-02 フィボナッチ数列の一般項
【コメント】
「フィボナっち」なんて書くと、数学が苦手な女の子のニックネームみたいですね(←？)

【雑解】
f(1)＝1, f(2)＝1
f(n＋2)＝f(n＋1)＋f(n)……@であり、
　f(n＋2)−αf(n＋1)＝β(f(n＋1)−αf(n))……A
⇔f(n＋2)−βf(n＋1)＝α(f(n＋1)−βf(n))……A'
(α≦β)
とおく。 Aより、a(n)＝f(n＋1)−αf(n)とおくと、a(n)は初項1−α、公比βの等比数列より、a(n)＝(1−α)βn−1
同様に、Bで、b(n)＝f(n＋1)−βf(n)とおくと、b(n)＝(1−β)αn−1
@, Aを係数比較すると、(α,β)＝((1−√5)/2, (1＋√5)/2)がわかる。
α＋β＝1, a(n)−b(n)＝βn−αn……B
A, A', Bより、f(n)＝(1/√5)(βn−αn)……(答)

本当に、雑な解答でした…。
私も「フィボナっち」なんだよね…。

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Q08-03 頭の体操　〜半円の面積で〜
【コメント】
AzukiじゃなくてAzukiさんですけどね。

ところで、この問題は、ぜひPTAの人にも解いてもらいたい。
「うちの子はできる子のはずなのにこんな成績なのは学校が悪いんだ」というバカ親(モンスターペアレント(ツ))が増えている。
あんたはどうなんだと言いたい。センセも大変だ。頑張れ！

【雑解】
なぜPTAかというと、この問題がちょうど(数学の)義務教育完了レベルだからである。

折り線の垂直二等分線を大きく引き、さらに円の中心と折り線の端を結ぶ。できた直角三角形は1：2：√3で、まず、(今引いた2つの線分(直線)でできた扇型)−(その直角三角形)を求める。
ア）の面積は(四分の一円)−(今求めた面積↑)×2で求められ、
答えは、{(√3/4)−(π/12)}r2
イ）がこれと同じ。

※中学生は、半径がrというように文字になっているのを嫌がる。さらに、三平方の定理や扇形の面積などがあり、そんなに軽い問題ではない。すべての中学生、そしてそのすべての親たちがこの問題を解けるようになる日が来ることを願う…

一方、ウ）は直角三角形が1：1：√2になることに注意。
答えは、なんとπが消えて、r2/4
エ）はout of 義務教育である(？)
円の中心からススーッと補助線を引くと(言葉じゃ説明しにくい…)、二等辺三角形と扇型ができる。
あとは二つの面積を求め、足すだけ。
答えは、r2(sinθcosθ＋θ)
で、それでもやっぱり、ウ）とエ）は答えもキレイでいいですね。


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Q08-04 ぐるんぐるんしちゃう
【コメント】
★★★★★★★★★★★★★★
★細かいことは気にしない！★
★★★★★★★★★★★★★★

スケールの大きい問題。天文学では文字通り天文学的な数字ばっかりですが、フツーの数学の問題で宇宙の問題はそんなにないね。
はい、コメントがつまんなくってスミマセン！

【雑解】
今、この二つの惑星が蝕の状態とする。
惑星Xは、360/x[°/日]
惑星Yは、360/y[°/日]
w’日でこの二つの惑星は360°の開きが出る。これを式に直すと、|360/x−360/y|×w’＝360
これを解いて、（1）の答えは、1/x−1/y＝1/w’

（2）は（1）の結果を利用する。惑星X,Yを一つの惑星|360/w’−360/z|×w＝360となり、これを解いて、
1/x−1/y−1/z＝1/w

はい、キレイに終わりました。


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Q08-05 スポーツドリンクの問題(手作り問題)
【コメント】
「解けましたが、まだ凍ってます！」
「じゃあ、溶けたら飲んじゃえ」
「だから、解けたんですよ」
「じゃあ飲んじゃえ」
「何度も言わせないで。溶けてないんだってば」
(↑お前らなんやねん…)

【雑解】
何も考えず立式。(ビタミンは、ホントはvだし、ヴァイタミンですが、ここでは日本語なのでbで…)
b＝3p−3、n＝2b−2、p＝1n−1
これを解くと、分数だらけになる。でも、求めるのは全体の量なので、答えは7dlとなり、ちょっとキレイ。

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Q08-06 ろーろーろゆあボート
【コメント】
そんなボートより豪華客船にでも乗ってのんびり解きたい。
でも、2分くらいで解けて暇を持て余すことに…。
地下2階のカジノに行ってくる！
えっ、カジノないの？(←韻ww)
じゃあ、みんなでかくれんぼする？
(じゃんけん…)
1人じゃ無理、もう1人オニお願い〜
…というわけで、アイコちゃんと一緒に探してきます！

【解答】
ボートの速さをv、川の流れの速さをw、第1乗り場から第4乗り場までの長さをLとおく。
単純に、L÷(v＋w)＝2、L÷(v−w)＝4である。
この2式から、L/vを求めればいいので答えは8/3、すなわち、2時間40分。

※8/3時間を2時間40分に直せないと恥ずかしい。


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