数学良問集もくじ＞§09 ある雨の日＞答え


ひとめでわかるように、答えのページは背景が白いのよ。


　　　セクション9「ある雨の日」の答え　　



Q09-01 こういう問題はいかがでしょうか(手作り問題)
【コメント】
七ではなく七さんですけどね。

【雑解】
(1)　(真空中における)15℃のときの音速(の近似値)
(2)　9.8から(1/2)gt2を思いつくかどうか。(地球上の)自由落下で4秒間に移動する距離(の近似値)
(3)　4/3と3.14から球の体積の公式を思いつくかどうか。半径2の球の体積(の近似値)
(4)　これは難しい。結果は720だから、逆に720という数字から六角形の内角の和という答えがでるかどうか。
(5)　100と101は1つ差であることからn(n＋1)/2が思いつくかどうか。自然数1から100までの和
(6)　これも難しい。答えは、底面が台形(上底1、下底3、高さ5)である高さ7の四角錐の体積
(7)　たとえば、一辺7の立方体の体積(「たて7、よこ7、高さ7の立方体の体積」という答えはダメ。立方体にたて、よこ、高さはない)
(8)　形から明らかにヘロンの公式。三辺が8, 7, 5である三角形の面積

近似値というのは、πがちょうど3.14ではないことと、gがちょうど9.8ではないことなどからですね。

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Q09-02 たまたまできた迷作？(手作り問題)
【コメント】
この問題は三角関数の不定積分を習ったばかりのときに作った問題です。
当時、クラスで数学がいつもトップの人にも出したんですが、解けませんでした。
ハハハ。
あの悔しそうな顔は忘れられません…。
ワハハ。
答えを教えたあと、言ってやりましたよ↓
「テストの問題ばかり解けても、こういうのが解けなければ意味無いんじゃないの？」って！
(「テストの問題すら解けないくせに」って反論されると思ったので、すぐに、
「頭かたいんじゃないのぉ〜」って付け加えておきました(笑))

【解答】
「計算した結果も等しい」とは、誤差の範囲が積分定数のみであればよいということである。
右側の式はさらに変形できて、分子は1−cos2x

もう(略)でいいでしょう！

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Q09-03 これもたまたまできた迷作だな(手作り問題)
【コメント】
作った当時は周りの人に聞いても「普通に解けばいいじゃん」という返事で、私も含め誰も解けなかった。
でも、最初に解いたのはもちろん私。
こちらは、上の問題ほどの「思い出」はありませんが。

【雑解】
おかしいのは、「xが残るが、0から0の積分なので」の部分である。いちおうxをtで表してみると、
(面倒くさいから略して)　x＝±f(t)となる。(f(t)はtの式)
よって、x：−1→2ではなく、x：−1→1/2→2、t：0→-9/4→0と修正する。
したがって、求める面積は∫[0→-9/4]g(t)dt＋∫[-9/4→0]{−g(t)}dtである。(g(t)はtの式)

あとは略。

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Q09-04 図形の、線分に関する問題に自信がある人にオススメ
【コメント】
私は、本当に図形が苦手…(泣)。
さらに、数学は図形から始まったといわれるとため息が止まらない…。
でも、基本的に全部苦手だから、まぁ、いいや…(笑)
(それに、体系的には「自然数」からですし…(笑))
ところで、私は、力づくでも解ければいいと思っていますが、こういう自由度の高い問題は、何となく、スマートに美しく解いてみたくなります。
図形は苦手だし、この問題もいろんな定理が出てきそうですが、それでも、きっと、たいして、そんな難しい定理なんか使わなそうだし、私でも解ける気がする！
個人的に「三平方の定理以外で2次式が出てきたら負け」というルールを設定して解いてみました(笑)

ご自身の解答は作れましたね？私の解答と、いざ、勝負！

【解答】
まず、△ABCにおいて三平方の定理よりBC＝4
△CMBにおいて三平方の定理よりCM＝5
CFは∠MCBの二等分線なのでMF：FB＝5：4　∴MF＝5/3, FB＝4/3
△CFBにおいて三平方の定理よりCF＝(4/3)√10
方べきの定理よりAM・MB＝CM・MD　∴MD＝9/5
△ADMにおいて三平方の定理より、または、△ADM∽△CBMよりAD＝12/5
△CDG∽△CBFと△CMF∽△CEGよりDG＝34/15, FG＝(14/15)√10, BE＝9/2, EG＝17/6
以上！

(計算ミスしてるかも…)

他には△AFGが二等辺三角形であることを使ってもいい。
また、方べきの定理とは、円周上に点A, C, B, Dがあって、ABとCDの交点をPとするとき、AP・PB＝CP・PDが成り立つという定理で、相似を使って証明できる。
あと、△ABCで∠Aの二等分線とBCとの交点をDとすると、AB：AC＝BD：DCという定理(お名前は忘れましたが…)も使いました。
接弦定理は使いませんでしたね。ここでは使えませんね…。
(接弦定理：△ABCは円に内接していて、点Aを通る接線があるとき、その接線とABとの成す角＝∠C)

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Q09-05 口口口回回回品品品
【コメント】
なんとふざけたタイトル。読めないし…。

【解答】
縦の線を選ぶ組合せの総数はnC2、横の線を選ぶ組合せの総数もnC2
よって、答えは、nC2×nC2＝｛n(n＋1)/2｝2

因数分解以前に、ちっとも計算らしい計算をしていないし…。

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Q09-06 まず無心になってから
【コメント】
無心になりすぎて問題文を把握できなかったなんてことのないように。(←いねーよ、そんなやつ)

【解答】
（1）と（3）は何でも正解。
（2）は3628800,（4）は2520

（2）は予想よりだいぶ大きく（4）は予想よりだいぶ小さかった、と私はあなたの答えを予想する(？)

（5)と(6）普通に考えると24回だと思いますが答えは22回。よく見ると「11時には重なっていない！！」のがわかる。詳しく言うと、約65分に一回重なるからそのつけ(？)が11時に回ってくる。

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