数学良問集もくじ＞§10 ゴトー・トーカ堂＞答え


ひとめでわかるように、答えのページは背景が白いのよ。


　　　セクション10「ゴトー・トーカ堂」の答え　　



Q10-06 整数の解
【コメント】
デパートだから問題のタイトルが「かい」で終わっている…
(「えっ、ゴトー・トーカ堂ってデパートなの？」については、問題編を読んでくださって推測してくださいませ。
あと、＊レヨンしんちゃんをご存じの方なら、何となくわかるはず！)

ところで、受験生でこの問題に出合ったことのない人はいま出合えたから安心。

【解答】
(方針は、x＝m/nという有理解をもつときn＝1であることをいえばいい)
x＝pという解は、互いに素な自然数m,nによってx＝m/nと表せる。これをもとの方程式に代入して、整理すると、
m＝−n(am2＋bmn＋cn2)で、(am2＋bmn＋cn2)は整数なので、mはnの倍数である。
mとnは互いに素なので、n＝1だから、その有理解は整数である。

(もちろん必ず有理解をもつわけではない。もしもつならば整数ということをいっているだけ。実はn次式でも同じことがいえる)

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Q10-05 足りないのかい、余るのかい(手作り問題)
【コメント】
「シャーペン」じゃなくて「シャープペンソー」って呼び名を広めませんか？

【解答】
立式すると、b＝ac−d、b＝a(c−e)＋(f−d)
この2式から、いろいろなものが消えて、ae＝fが残る。
すべて正の整数より、e≦fかつfはeの倍数といえた。

あっ、やっぱり、「シャープペンソー」はもう忘れてください…。たいして面白くないです…

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Q10-04 こんな一般項が求められれば愉快
【コメント】
そういえば、問題順が逆なのもお気づきでしょうか？
上からQ10-06, …, Q10-01なのだ！

【解答】
まず、(Sn)2−(Sn−1)2を求める。
Sn−Sn−1＝anからSn−1を消去すると、(Sn)2−(Sn−1)2＝1となる。キレイ。(nの0次式も「nの式」に含まれるよね、きっと…。)
また、a1＝S1＝(a1＋1/a1)/2より、S1＝1(＞0)
よって、数列{(Sn)2}は初項1,公差1の等差数列なので、(Sn)2＝n……(1)の答え
だから、Sn＝√n(＞0)、これをはじめの関係式に代入して、an＝√n−√(n−1)……(2)の答え

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Q10-03 かんたんそうにみえるかい？(神戸大参考)
【コメント】
この問題もちろんタイトルは「かい」で終わっている。あーそうかい。

【解答】
初項a、等差dとすると、a(n)＝a＋(n−1)d
@．8≦a＋d≦10
A．14≦a＋3d≦16
B．19≦a＋4d≦21⇔−21≦−(a＋4d)≦−19…B’
C．38≦a＋9d≦42
なので、B’Cより、−21＋38≦−(a＋4d)＋(a＋9d)≦−19＋42
dは自然数なので、d＝4
@より、a＝4または5または6
Aより、a＝2または3または4
∴a＝4
よって、a(n)＝4n
したがって、求める和は、2n(n＋1)……(答)

（ちなみに、絶対に、C−Bなどとしてはいけない！！！
5≦7≦9、1≦4≦8だが、5−1≦7−4≦9−8ではない。）
よいこは真似しないでね。
あっ、そういえば「でも真似するのは大抵悪い子だから、そんな注意書きは意味無い」って誰かが言っていました。
たぶん＊モリさんだったと思います。
賛成です！　だから、
「誰も真似しないで明日来てくれるかな」(←？)

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Q10-02 一見したところ難解
【コメント】
め＊え教室では恋はめ＊えず…。

なんと、これも問題のタイトルが「かい」で終わっている。はいはい。

【解答】
m＋1からm＋kまでの和を、Sとおくと、
S＝k(2m＋k＋1)/2
ここで、kが奇数のときは、(2m＋k＋1)は偶数で、
　　　　kが偶数のときは、(2m＋k＋1)は奇数になる。
よって、S＝2nの形には表せない。

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Q10-01 またまた大学入試かい(青山学院大)
【コメント】
もしかしたら、青果品売り場はふつう地下でしょうか？
今更ですが「かい」は「階」のことです。

ところで、これは結構不思議な問題です…。

【解答】
(図は、そのうち入れます…)
単純に考えると、直線APを、y＝m(x＋2)とおいて、Bとの距離を求めて、線分PQの長さを求めていくのである…。
点Bから直線APへ垂線を下ろし、その交点をH1とすると、直線と点の距離の公式より(きっと高校(数Uかなぁ？)で習う…)、
BH1＝(m＋2)/(√m2＋1)
OP＝OQ＝1より、△OPQは二等辺三角形。OからPQへ垂線OH2を下ろすと、三平方の定理より、
PH22＝OP2−OH12＝(m2−3)/(m2＋1)
よって、PQ＝2√((m2−3)/(m2＋1))
求める面積をSとすると、以上より、 S＝(m＋2)√(m2＋3)/(m2＋1)
たぶんあっている…。
これを微分して、増減表を書いて、Sが最大となるmの値を求めればいいのですが、私はここで挫折…。もし私が受験生なら、
「次に、これを微分して、増減表を書き、Sが最大となるmの値を求める。」と書いて、次の問題に行ってしまう…。

私が本で読んだ解答は、図形で解いていた！
△AH2O∽△AH1Bで、その比は2：3である。
よって、S＝△OPQ×3/2
　　　　　＝(1/2)×1×1×(sin∠POQ)×3/2
したがって、∠POQ＝90°のとき、S＝3/4……(答)

coolですね…。
「容疑者xの献身」で「幾何の問題と見せかけて関数の問題」ということばがありましたが、この問題はちょうど逆ですね！

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