数学良問集もくじ＞§11 マージナルキャット公園＞答え


ひとめでわかるように、答えのページは背景が白いのよ。


　　　セクション11「マージナルキャット公園」の答え　　



Q11-01 ミステリアスな問題(手作り問題)
【コメント】
(ほんのちょっと、シリアスに書いちゃいます…)

問題文で何か「新しく定義をしているもの」があるときは、慎重にやらなければなりません。
でも、そういう問題は意外と簡単だったりします！
入試問題において、そんな問題の狙いは、「聞いたことのないルールに戸惑った人」と「よく読まず勝手に解釈して全然トンチンカンな解答をする人」を落とすこと。
または「臨機応変に物事に対応できる人」と「人の話をしっかりと理解できる人」を選ぶことと言ってもいいかもしれません。

【雑解】
(1189〒1088)は、初項1189,公差1の等差数列の第1088項までの和である。これを計算すると、1884960
(これが、どうやら何かの最小公倍数になるらしい。それを求める。)
(a＝1884960,b＝1なら終わりなのになあとぶつぶつ言わずに、)1884960を素因数分解する。
すると、1884960＝25・32・5・7・11・17
(そう、1309は7・11・17と、分解できるのだ！)
(akanedotさん、間違いのご指摘ありがとうございmath！訂正しました！)
ここで、最大の素数17に注目し、17の倍数付近で調べると、32, 33, 34, 35, 36(34が17の倍数)の集合が適する。
よって、(a〒b)＝32＋33＋34＋35＋36＝170……(答)

ちなみに、a＝32, b＝5ですね。

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Q11-02 いーがいーなけっか(手作り問題)
【コメント】
ミニクイズの答えはここに書けばいいのに、と思われた方は、ごもっともなんですが、
「この問題の答えは見たくないけれどミニクイズの答えだけ知りたい」という方のための配慮ということにしてくださると助かります。

ところで、もちろん「いーがいーなけっか」は「意外な結果」の意味ですが、
意外な結果にならなかったらごめんなさいということで…

【解答】
P(a)＝{a/(a＋1)}a＝{1/(1＋1/a)}a
よって、a→∞のとき、P(a)＝1/e……(答)

ただし、eは自然対数の底で、2.71828182845…なる無理数。1/eは約36.788％である。

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Q11-03 スリムな問題
【コメント】
まぁ、そのうち思い出すと思いますが、その前に消えてしまったらどうしましょう…。

【雑解】
もちろん余りは高々1次だから、
(この「高々」という言葉、なんかバカにしてるみたいであまり好きじゃない…)
(↑ということを言いたくてわざと「高々」を使った。(バカにしている意味なのは「たかが」という言葉なんですけどね…))
(あと「あまり好きじゃない」の「あまり」が「余り」と掛かってて…)
x100＋x99＋……＋x＋1＝(x＋1)2Q(x)＋ax＋b　　(←これは恒等式)
とおいて、x＝−1を代入して、1＝−a＋b
さらに、その恒等式を微分して、それにx＝−1を代入して、−50＝a
よって、求める余りは、−50x−49……(答)

はじめてこの答えを聞いたときは、微分なんかひらめかんわ、と、心の中でツッコんだ。
しかし、朗報！これは、微分なんか使わんでも解けるのです。

【別雑解】
上と同じようにして1＝−a＋bを求めて、b＝a＋1をはじめの恒等式に代入。
そして、両辺の1が消えて、右辺を(x＋1)を因数にしてくくれるのがわかる。
ここで実は左辺も(x＋1)で割り切れる。ここまでを式にすると、
(x＋1)(x99＋x97＋……＋x)＝(x＋1){(x＋1)Q(x)＋a}
恒等式なので、x99＋x97＋……＋x＝(x＋1)Q(x)＋a
あとはこれにx＝−1を代入してaを求めて、それらを始めの恒等式に代入してbを求めて終わり。

どちらがお好きですか？

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Q11-04 これを解いても何も実利はありません
【コメント】
私、歴史は本当にダメです…(泣)

1/xをXとおいたりして解くようです。実は、まったくひらめかなかった私…(涙)

【雑解】
そんなふうにして解くと、(X,Y,Z)＝(−2,3,−1)なので、(x,y,z)＝(−1/2,1/3,−1)……(答)
1行でまとめちゃいました…(笑)

でも、義務教育の範囲外なので解けない人がいるかも…(汗)
ということで、混乱してしまう人や、工夫してやったつもりなのに0＝0になってしまう人は、とりあえず何も考えずに、@Aからxを消して(A’)、@Bからxを消して(B’)、A’B’からyとzを求めましょう！

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Q11-05 図の必要な問題はほんとに面倒くさい。ペイントでイチイチかくのがね。（手作り問題）
【コメント】
「出来た！」と思っている子供にとって、「裏返すと一致しているからダメ〜」って言われるのは結構悔しいらしいです。

【解答】
図はそのうちかきますmm
（1）解答作成中…
（2）「適」の図形は34個。
（3）そのうち、立方体の展開図は12個。よって求める確率は12/34
泣く泣く約分して、6/17……(答)

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Q11-06 平和の象徴といえばハトだね(手作り問題)
【コメント】
「鳩の心臓」は「ハートofハト」……ん、いや、「鳩」は「ピジョン」ですね。
「ピジョン」という言葉を聞くとなんとなく中途半端な感じを覚えるのは、当時のp○kem○nのやりすぎのせいか…

【解答例】
なぜか、スーパーファミコンの人生ゲームで考えてみました。
もちろん、PSでも、そもそもボードゲームのだっていいけど。
4人で3時間、1人1回のターンでかかる時間を15秒、ルーレットは1〜8、期間は約5〜60歳の55年とした。

（i）4人で3時間を1人で3/4時間と解釈すると、
1回休みの長さは15秒
55年：45分＝x年：1/4分を解いて、閏年があるので1年を365.25日として、単位を日に変えると、約111.6日…(答1)

（ii）4人で3時間を1人でも3時間と解釈すると(＝給食理論(？)：何人で食べても1人当たりの時間は同じ)、
1回休みの長さは15秒×7ターン
55年：180分＝y年：15×7/60分を解いて(i)と同様に考えると、約195.3日…(解2)

いずれの場合も1回休みは休みすぎということがわかりました。人生は大切に(？)
(そういえば、結局ルーレットは使わなかったし…)

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