数学良問集もくじ＞§13 井戸端会議＞答え


ひとめでわかるように、答えのページは背景が白いのよ。


　　　セクション13「井戸端会議」の答え　　



Q13-01 2人とも、知ってる？(広中杯参考)
【コメント】
ほんまにそないな井戸端会議聞いたりしたらぶっ倒れてまう、わしゃ。
(↑誰？)

【雑解】
問題は、e＝A/B＝C/Dの形をしている。ここから、eB＝AとeD＝Cという2式ができる。
そのまま引いて、つまり、e(B−D)＝A−Cの形にする。すると、両辺にx＋y−1700という形が現れる。
よって、x＋y＝1700
つまり、大人1人と子供1人で1700円払えばよい。……(答)

問題文には「一例をあげよ」とあるからこんな感じの答えなら正解。
πで解いた方も同じ答えです。
素直にxやyを出そうとすると、確かどちらかがマイナスになるという、ある意味スゴイ問題。
奇数の人数では入れないということですね。

あっ、来週の問題なのに答えを書いてしまった。
もし、数学区民の人たちがこのホームページを見たらどうなるの？？？

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Q13-02 絶対値とベクトルと領域の融合問題
【コメント】
(今日も派手に書いてしまいます…)

「数学を教える」という性質上、学校の授業で融合問題を解くことはあまりない。
1つの分野を系統的にある程度まで教え、それが終わると次の分野を系統的にある程度まで教え……を繰り返して小, 中, 高と進む。
複数の分野の知識を使う融合問題をいつ授業で取り上げればいいのだ！？

そんなわけで融合問題はみんな苦手。それを知ってか知らずか(いやっ、知っているのだろうとは思いますが)入試では好んで出される。
さらに学校もそれを知っていて、おもに受験生だけが夏期講習とか冬期講習とか3学期の授業とかでちょっと解く。
ちょっとというのは、数学は問題演習にあまりにも時間がかかるから、必然的にちょっとしかできないのである。
いくらやっても問題集が進まない不安。ほかの科目もやらねばという焦り。
そりゃ強くなるよ、受験生。

灰色の受験生だと？！とんでもない。
受験によって得られるものは多すぎる：集中力、精神力、持続力、持久力、体力(←意外？)、もちろん学力も。
言うなれば虹色。
いや、そんなふざけた色ではない。強くてしっかりした色……黒だ！
人とあまりかかわりたくならなくなるところも黒がピッタリ。
黒色の受験生……語呂わるっ。
…黒の受験生……これだ！
要するに、学校ではあまり教えない種類の問題も解かなければならない受験生はつらいんだよということ(？)

さて、解答に行きましょー！

【解答】
|x|＋|y|＝3が図示できないと、すこし、悲しい…。
第一象限：x≧0、y≧0⇒|x|＋|y|＝3⇔x＋y＝3⇔y＝−x＋3
第二象限：x≦0、y≧0⇒|x|＋|y|＝3⇔−x＋y＝3⇔y＝x＋3
第三象限：x≦0、y≦0⇒|x|＋|y|＝3⇔−x−y＝3⇔y＝−x−3
第四象限：x≧0、y≦0⇒|x|＋|y|＝3⇔x−y＝3⇔y＝x−3
かんたん。

二点が動く問題では、片方を固定して考えるのが基本だけど、Pを固定しても仕方ないので、Qを固定する。
ここで、Qを|x|＋|y|＝3上で動かすと、下の図のようになる。
※とか言いながら図はまだ届いてません。(←誰から？)
∴S＝四角形ABCD−四角形A'B'C'D'−☆×4
　　＝(3√2＋2)2−(3√2−2)2−(4−π)
　　＝π−4＋12√2……(答)

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Q13-03 美しさは数学から
【コメント】
ぶぶんぶんすうぶんかいって、言いたくはなるのですが、書くのが大変なので、"BBBB"と略します。
部分分数展開なんていうヤツは論外！
ついでに、"KKKK"と言ったら「かにクリームコロッケ」
"KKKKKKK"と言ったら「公共広告＊構」ね。

【雑解】
PC上でたくさんの数式を見るのは本当に疲れるので、かなり大雑把に書きます。
分子の24は最後につけることにしましょう。
与式の分母は(x＋2)(x2−2x＋4)と因数分解でき、(x＋2)＝＊、(x2−2x＋4)＝〒、(2x−2)＝〒’とおく。

a/＊＋(bx＋c)/〒とBBBBすると、恒等式が作れて、a＝1/12、b＝−1/12、c＝1/3が求められる。
よって、1/(x3＋8)＝1/(12＊)−(〒)’/(24〒)＋3/(12〒)

ここで、右辺の3項を左から(ア),(イ),(ウ)とする。

(ア)は、積分すると、(1/12)log(x＋2)
(イ)もそんな感じで、(−1/24)log(〒)
(ウ)は、arctanを使うか、高校生が解くとすると、〒＝(x−1)2＋3として、x−1を(√3)tanθとおけばおなじみ(そうでもないかｆ＾＾；)の置換積分でOK。

以上、(ア),(イ),(ウ)から、また、始めにどかした分子の24を忘れずに入れて、
答えは、(3log3＋(√3)π)/3と、かなり美しい形になるのだ。

終わり。

えっ、クリームは"C"だって？
細かいことは気にしない！

今度こそ終わり。

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Q13-04 高い？低い？(手作り問題)
【コメント】
計算してみるとわかるとおり、かなり「高い」確率。
人は知らず知らずのうちこれを利用して、たとえば、221を素数かどうか確かめよとか言われると11くらいであきらめて「素数？」なんて言う…。
負けないで、もう少し！13で割り切れるから！(笑)

【雑解】
※もちろん自然数に0は入りません。数学者とかだと流儀で意見が分かれるけど、基本的には0は自然数ではない！
「1以外の1けたの自然数で割り切れる」の余事象は「2でも3でも5でも7でも割り切れない(9以下の素数で割り切れない)」である。
だから、1−(1/2・2/3・4/5・6/7)＝27/35……(答)

まさか、8/9なんて答えにはならないですよね。

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Q13-05 ユークリッドの互除法
【コメント】
ユークリッドの互除法は証明ともども中学か高校で教えるべきだ！

【雑解】
a＝a'k、b＝b'k……@とおける(a'とb'は互いに素)。
a＝bq＋rで、@より、r＝k(a'＋b'q)で、カッコ内は整数なのでrもkの倍数。つまりbとrの公約数。
次に、b'と(a'＋b'q)が互いに素であることを示すが、b'＜(a'＋b'q)より、(a'＋b'q)がb'の倍数とすると……矛盾するので背理法より、素。よってkはbとrの最大公約数であるといえた。終わり。

aとbの大小関係は無視できることもわかる。

（2）4182÷2665は、余り1517
　　　2665÷1517は、余り1148
　　　1517÷1148は、余り369
　　　1148÷369は、余り41
　　　369÷41は、余り
　　余りが0になったときの割る数である41が答え。

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Q13-06 勉強になる問題
【コメント】
「勉強になる問題」を、「勉強になる"いい問題"」と解釈するか、「"所詮、勉強にしかならない"問題」と解釈するのかはそのひとの心の広さにかかわってくる(笑)

【解答】
シャーペンで書く気はするけどキーボードで打つ気がしない…。(←おいおい…)
私のノート→スキャナー→画像でもいいけど私の字なんてきっと読めない。

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