【良問集】
セクション13「井戸端会議」のページ
| Q13-01 | 2人とも、知ってる？(広中杯参考) | |
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| マスマス遊園地の入場料は週替わりである。 (←この時点で拒絶反応示されたらかなわないのですが…(汗)) この遊園地は、正しい料金（つりなし）を払わない個人・団体は受けつけない。 正しい料金は、問題を解くとわかる。(なるほど) その問題は、駅やコンビニに、その週に置かれる。もちろん、ご自由にお持ちください形式である。(ほうほう) 下の井戸端会議を傍聴してあとの問いに答えよ。(よっしゃ！) 鈴木「ねぇ聞いて、先週家族で遊園地(←もちろんマスマス遊園地のこと)に行ったんだけど、お父さんの計算ミスで入れなかったのよ〜」 佐藤「先週は安かったんでしょ。どこかでそう聞いた気がするけどやっぱり問題も難しいの？」 鈴木「さぁ。だってお父さんが『俺に任せとけ』って言ったから問題も何も見ないで全部任せたちゃったのよ」 高橋「一応見なきゃだめよ。あのゲートで止められる人なんかそうそういないわよ」 鈴木「へへ。ちょっと恥ずかしかったわ。だから次は絶対私が解くの。でも今週の問題見たら難しそうだったから来週ね。まぁ、お父さんは頑張っているみたいだけど」 佐藤「へえ」 高橋「ねぇねぇ、2人とも、知ってる？ これが来週の問題よ」 鈴木「えっ、なんで来週の問題なんか知ってるのよ？！」 高橋「最近、ホームページで公開することにしたみたいよ」 鈴木・佐藤「へぇ」 高橋「解ける？」 佐藤「xを大人料金、yを子供料金とするとき次の式が成り立っている…」 別に、だれかと協力したり、答えを他人に教えてもいい。 ただ、この区の人はみんな自分1人で解きたいのね。 鈴木さんは例外…？ もしかしたら他の地域から嫁いできたのかも。 その問題がこれである。 佐藤「nが0に近づくとき、(1＋n)の(1/n)乗の値＝(3x＋2y−4200)÷(2x＋y−100)＝(3x＋4y−6000)÷(x＋2y−5000)」 鈴木「難しそうね」 （一瞬の間） 佐藤・鈴木・高橋「うーん…」 さて、来週入場するにはどうすればいいか。一例をあげよ。 つづく | ||
| ヒント | まず、最後まで読んでくださって本当にありがとうございますm(_ _)m 一例をあげよってこと。 もちろん、佐藤さんの読んだ左辺の式は0ではない。 | |
| コメント | 広中杯のとある問題を参考に高校生レベルにアレンジ♯♪ (←半音上げて成長のイメージ(笑)) 中学生の方(or「極限」を知らない方)は、左辺をπとすると、その部分は広中杯の原題と同じになりますが、それで解いてみてください。 マスマス遊園地の次回の問題はこちら(Q18-01)。 | |
| 分類 | 数と式・広中杯・中学生・高校生・前のセクションのクリスマス会の保護者の皆さんですね | 解答を見る→ |
| Q13-02 | 絶対値とベクトルと領域の融合問題 | |
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| xy平面で、動点Pは円x2＋y2＝1の円周または内部、動点Qは|x|＋|y|＝3上を動くとき、 → → → OR＝OP＋OQ で表される、点Rが動いてできる図形の面積を求めよ。 | ||
| ヒント | まず、どちらかの動点を固定して考える。 |
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| コメント | 受験数学の問題って感じですが、良問♪ 図形に対する総合力が必要！ PCによっては、ベクトルの矢印が頭にちゃんと乗ってないと思いますが、"→"は、OR, OP, OQの3つの頭の上に乗っているものとしてください。 |
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| 分類 | 図形・ベクトル・面積・高校生・タイトルがちっとも凝ってない | 解答を見る→ |
| Q13-03 | 美しさは数学から | |
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| 次に定積分を計算せよ。 ∫[0, 1](3×8)/(x3＋8）dx |
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| ヒント | 素直に部分分数分解。 もう一回言っちゃお♪ ぶぶんぶんすうぶんかいです(笑) |
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| コメント | 高校生でも解ける。 分子の3×8はいらないように見えますが、これで分母とのバランスが取れてキレイだし、さらに答えもキレイに。 |
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| 分類 | 数と式・積分・高校生・何度も言いたくなる不思議な言葉 | 解答を見る→ |
| Q13-04 | 高い？低い？(手作り問題) | |
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| 任意の0でない自然数nが、1以外の1けたの自然数で割り切れる確率はいくらか。 |
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| ヒント | 地道に。そして、大雑把に！ |
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| コメント | 自然数は無限にある★ それなのに求められる う〜ん、神秘的…。 |
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| 分類 | 数と式・確率・高校生・確率を「大きい」「小さい」って言う奴もなんかイヤ | 解答を見る→ |
| Q06-03 | ユークリッドの互除法 | |
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| （1） a, b, rはいずれも正の整数とする。このときaをbで割った余りをr (r≠0)とすると、aとbの最大公約数は、bとrの最大公約数と等しいことを証明せよ。 （2） 2665と4182の最大公約数を求めよ。 | ||
| ヒント | とにかく数式化！ | |
| コメント | （1）の結果を利用して、（2）のようなものを求める方法を、ユークリッドの互除法という。 「ごじょほう」で変換しても「互助法」ってなるし…(怒) そういえば「しょうまつ」で変換しても「章末」ってならないよ…(哀)(2008年現在)。 | |
| 分類 | 数と式・高校生・もっと数学用語の変換精度あげてよビルゲ＊ツさん | 解答を見る→ |
| Q13-06 | 勉強になる問題 | |
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| 0≦x≦1をみたす実数xで、 Tn（x）＝1−x＋x2−x3＋…＋(−x)n (n＝0, 1, 2, … )とおく。 （1） 1/(1＋x)−Tn（x）をxとnで表せ。 （2）∫[0, 1]x2/(1＋x)dx＜1/(n＋1)を示せ。 （3）無限級数1−1/2＋1/3−1/4＋…＋(−1)n/(n＋1)＋……は収束することを示し、この和を求めよ。 |
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| ヒント | 誘導通りにやればいいんですが、 （1） 等比級数 （2） 区間[0, 1] （3） はさみうち といったところ。 |
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| コメント | 誘導がきれい。 でも、ある程度難しい。 |
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| 分類 | 数と式・積分・極限・高校生・無理数なんて無理っす | 解答を見る→ |
