【良問集】
セクション14「マス湖大橋」のページ
| Q14-01 | 優しい気持ちになれる問題(手作り問題) | |
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| 自然数aとbの最小公倍数がl（エル）、最大公約数がgのとき、その積lgをaとbを用いて表せ。 |
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| ヒント | な〜し |
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| コメント | なんか不思議な問題ね♪ ちょっとこわい★ これは私が高校生の頃に見つけたのですが、実は、ある程度有名らしい…。 | |
| 分類 | 数と式・高校生・別に優しい気持にはならないか・・・ | 解答を見る→ |
| Q14-02 | おおっ同じだ | |
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| ある4けたの数を一つ思いうかべる。 その4けたの数を並べ替えてできる最大の数と最小の数の差の絶対値を新たに4ケタの数とする。 その4けたの数でまた同じことを繰り返していく。 たとえば、2063を思いうかべたなら、 新たな4けたの数＝6320−0236＝6084である。 次の新たな4けたの数＝8640−0468＝8172…と繰り返していくのである。 途中で3けた(2けた)になったら頭に0(00)を加えて繰り返していけばいい。 ちょっと何回か繰り返してやってみてください。 突然ですが、今のあなたの数を当てます。 …6174ですね。 そこで、 必ず6174になることを証明せよ。 といってもあいまいなので、「このようになる4けたの数が存在するなら、それは6174だけだということを証明せよ」とします。 |
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| ヒント | すごいでしょ。 すごいよね？ ヒントはその4けたの数をabcd−dcbaとおいて、いろいろ場合分け。 |
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| コメント | 実はけっこう証明は面倒くさい★
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| 分類 | 数と式・カプレカ数・中学生？・高校生？・カプレカのレプリカはプレミアム | 解答を見る→ |
| Q14-03 | すげー、東北大。(東北大参考) | |
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| 数列｛a(n)｝は初項a、項数n、末項a(n)＝2の等差数列で、数列｛b(n)｝は初項b、項数n、末項b(n)＝2の等比数列である。 また、いずれの数列も、初項の前に1をおいても、｛a(n)｝では等差数列、｛b(n)｝では等比数列として成り立つ。 P(n)＝(a(1)＋a(2)＋…＋a(n))/n、 Q(n)＝n√(a(1)・a(2)・…・a(n)) R(n)＝{P(n)の右辺のaをbに変えたもの}、 S(n)＝{Q(n)の右辺のaをbに変えたもの} とするとき、 P(n), Q(n), R(n), S(n)のn→∞のときの極限をそれぞれ求めよ。 |
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| ヒント | どちらも1を含めた(n＋1)項で考えて公差や公比をnの式で表す。 他にも、A×B×C＝D⇔logA＋logB＋logC＝logD や、2a×2b×2c＝2a＋b＋cという性質を使う。 |
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| コメント | 超良問。 ヒントを出しすぎですが、難しい問題を出して「ほら解けないだろう」と言うことが目的ではないので、このくらいでいいかと思います。 まあ、本番では受験生たちはノーヒントで解くんだから尊敬しちゃいますね♪ |
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| 分類 | 数と式・数列・極限・高校生・タイトルが失礼極まりない。ごめんなさい | 解答を見る→ |
| Q14-04 | 5つもあるともはやラッキー感はない | |
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| 息子の新一郎と誕生月日が同じである父の雄作郎は2008年の誕生日がやってくると、 息子の年齢×自分の年齢×今年の元日から今日までの日数＝77777となることに気づいた。 さて、息子と父の誕生年月日はそれぞれいつか。 |
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| ヒント | 「そんなこと普通気づくか？」って思う人は、きっと数学区民だからいいんじゃない？ってことで宇宙より少し狭いくらいのあなたのその冷たい心で許してほしい。 すべてはこの問題ためにホームページのタイトルを「数学区」にしたのよ。(←嘘) 「そんなこと普通気づくか？」なんてちっとも思わなかった人は、透きとおった心をお持ちのようで、羨ましいです。 ヒントは、まず77777をああするしかないね♪ |
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| コメント | 別に、問題文が「いつか」で終わっているからどうってことはありません。 それよりも重大な事実を確認して。 |
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| 分類 | 数と式・パズル・中学生・新一郎は彼女に「大バカ酢入りの介」って言われるほど酢入りが好き。 | 解答を見る→ |
| Q14-05 | 入れたくなった数を入れちゃえばいいじゃない(広中杯) | |
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| □に当てはまる数を求めよ。 312＋□2＋312＋302＋312＋302＋312＋312＋302＋312＋302＋312＝11111 |
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| ヒント | 問題のタイトルのとおりです。 まさか30を入れたくはなりませんよね。 |
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| コメント | 広中杯スゴすぎ…。 し＊かちゃんのBFはデキすぎ… で、実際、制限時間のある本番でこれを解いた中学生は感動する暇もなくさっさと次の問題にいかなければならなかったんだろうなあ〜。 そういえば、デキすぎの下の名前なんでしたっけ？ |
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| 分類 | 数と式・広中杯・中学生・えっ、BFはデキすぎじゃなくて、の＊たくんですか？プロデュースですか？それは性別が違いますね。アミーゴ！ | 解答を見る→ |
| Q14-06 | 意外と面倒くさい大きい脚立の問題。 | |
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| いま、この大きい脚立は地点ABCDに立っている。 もちろん脚立の構造上AB＝DCで、AB−DC間の距離が大きくなることは脚立の高さが下がることを意味する。 さて、ここでAB−DC間の距離を4mにし、五郎はDC側から3m登った。 このとき、脚立の最頂部から五郎の足もとまでの距離とその足もとからABまでの距離が等しかった。 脚立の長さ（最頂部からAB（またはDC）までの距離）を次から選べ。 ア) 約6.3m イ) 約7.3m ウ) 約8.3m エ) 約9.3m |
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| ヒント | 問題を解くだけならばAB＝DC＝0でいいって言うじゃな〜い。 (↑また侍ネタ使ってしまった。古すぎ。) |
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| コメント | 問題文は多少長いけど図にすると何ともあっさりしているね♪ あえて、図は載せていないけど、解いてみると意外に面倒くさく感じるはず。 実は答えもちゃんとでないし。 |
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| 分類 | 図形・中学生・高校生・五郎さんは本当は酢入りが苦手です | 解答を見る→ |
