§17 マス湖花火大会の答え

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　　　セクション17「マス湖花火大会」の答え　　

Q17-01	たまや
【コメント】赤いアゲハのように、舞い楽しんで。【解答】 (AD＝BDのみ示す。) ＜１＞中点定理を使う。中点定理より、　AB²＋AC²＝2(AD²＋CD²) 三平方の定理より、 ⇔BC²＝2(AD²＋CD²) ⇔(2BD)²＝2(AD²＋CD²) ∴AD＝BD　　証明終＜２＞円周角と中心角の定理の逆を使う。中心D、半径BDの円を描くと、∠BDC＝180°、∠BAC＝90° よって、円周角が中心角の半分なので、点Aはこの円周上にある。 ∴AD＝BD　　証明終＜３＞合同を使う。点Dから辺ABに垂線を下ろし、その交点をHとする。 CAとDHは平行なので、BD：DC＝BH：HA＝1：1 よって、△BDHと△ADHは、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同。 ∴AD＝BD　　証明終 ←問題へ戻る
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Q17-01

たまや

【コメント】
赤いアゲハのように、舞い楽しんで。

【解答】
(AD＝BDのみ示す。)

＜１＞中点定理を使う。
中点定理より、
　AB²＋AC²＝2(AD²＋CD²) 三平方の定理より、
⇔BC²＝2(AD²＋CD²)
⇔(2BD)²＝2(AD²＋CD²)
∴AD＝BD　　証明終

＜２＞円周角と中心角の定理の逆を使う。
中心D、半径BDの円を描くと、∠BDC＝180°、∠BAC＝90°
よって、円周角が中心角の半分なので、点Aはこの円周上にある。
∴AD＝BD　　証明終

＜３＞合同を使う。
点Dから辺ABに垂線を下ろし、その交点をHとする。
CAとDHは平行なので、BD：DC＝BH：HA＝1：1
よって、△BDHと△ADHは、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同。
∴AD＝BD　　証明終

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Q17-02	かぎや
【コメント】「解答を忘れてしまったということですが何か責任は取るんですか？」「別に…」　　(←古っ…) 【解答】「特に…」 ←問題へ戻る
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Q17-03	その問題を見た佳介は(手作り問題)
【コメント】佳介クンが久しぶりに登場です。【解答】佳介クンの証明は、結局は、AB＋BC＝ACであることを否定しているだけ。しかし、それは自明で、ここで要求されているのは、「証明の誤りの指摘」。まとめると、「証明自体の誤りを指摘しなければならないのに、事実がおかしいことを証明しているだけ。」ということです。 ←問題へ戻る
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Q17-03

その問題を見た佳介は(手作り問題)

【コメント】
佳介クンが久しぶりに登場です。

【解答】
佳介クンの証明は、結局は、AB＋BC＝ACであることを否定しているだけ。
しかし、それは自明で、ここで要求されているのは、「証明の誤りの指摘」。
まとめると、
「証明自体の誤りを指摘しなければならないのに、事実がおかしいことを証明しているだけ。」
ということです。

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Q17-04	わたあめ(手作り問題)
【コメント】数学をやっている人の出す例っていうのは、りんごとかみかんとか、色のついた玉とか、なんとも幼稚でございます。だから、ピアノとバイオリンというわけでもありませんが… 【雑解】 P＝｛p(1), p(2), ……, p(n)｝は、ピンからキリまでの(要するに区別できる)n台のピアノの集合。 V＝｛v(1), v(2), ……, v(v)｝は、ピンからキリまでの(要するに区別できる)n台のバイオリンの集合。：：と、全部でk種類の楽器があるとする。ここで、(nＣr)^kとは、Pからr台、Vからr台、……、と、どの楽器からもr台選ぶ組合せの総数。一方、(nk)Ｃ(rk)とは、すべての楽器(nk台)から、rk台選ぶ組合せの総数。 (集合的に見ると、(nＣr)^k∈(nk)Ｃ(rk)は明らか。) よって、(nＣr)^k≦(nk)Ｃ(rk) 等号は、k＝1のときに成り立つ。　　証明終すべて自然数だからこんな証明をしたけど、これは正しい？あと、問題とは直接関係ありませんが、ピアノやバイオリンを数える単位は「台」でいいの？ ←問題へ戻る
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Q17-04

わたあめ(手作り問題)

【コメント】
数学をやっている人の出す例っていうのは、りんごとかみかんとか、色のついた玉とか、なんとも幼稚でございます。
だから、ピアノとバイオリンというわけでもありませんが…

【雑解】
P＝｛p(1), p(2), ……, p(n)｝は、ピンからキリまでの(要するに区別できる)n台のピアノの集合。
V＝｛v(1), v(2), ……, v(v)｝は、ピンからキリまでの(要するに区別できる)n台のバイオリンの集合。
：
：
と、全部でk種類の楽器があるとする。

ここで、(nＣr)^kとは、Pからr台、Vからr台、……、と、どの楽器からもr台選ぶ組合せの総数。
一方、(nk)Ｃ(rk)とは、すべての楽器(nk台)から、rk台選ぶ組合せの総数。
(集合的に見ると、(nＣr)^k∈(nk)Ｃ(rk)は明らか。)
よって、(nＣr)^k≦(nk)Ｃ(rk)
等号は、k＝1のときに成り立つ。　　証明終

すべて自然数だからこんな証明をしたけど、これは正しい？
あと、問題とは直接関係ありませんが、ピアノやバイオリンを数える単位は「台」でいいの？

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Q17-05	キレイは作れる(手作り問題)
【コメント】このサイトの[美式]に答えを書いてしまっています…。場所は、確か、[トップページ]→[その他いろいろ]→[美式]でしたっけ？【解答】ひとつ見つければいいのだ！ a＝0, b＝0, f(x)は任意(ただし、f(x)≠x)……(答) …？？？はい、実は、問題文にはaとbについての条件が書かれていないのでこれでもいいんです。でも、ちょっと、ちゃんと解いてみると・・・まず、面倒くさいから、b＝0 f(x)の原始関数のひとつをf(x)とすると、　∫[0→a]f(x)dx＝∫[0→a]｛f(x)｝²dx ⇔F(a)－（F（a)）²＝0 ここで、f(x)＝x＋1としてみる。明らかに手抜き(笑) すると、 F(a)－（F(a)）²＝a³/3＋a²/2＝0 整理して、a²（2a＋3）＝0 ∴a＝0, －3/2 a＝0のときは、はじめの方で書いた正しいふざけた答えである。 a＝－3/2のとき、[0→－3/2]ではおかしいので、[－3/2→0]とする。したがって、ひとつの答えは、 ∫[－3/2→0]（x＋1）dx＝∫[－3/2→0]（x²＋2x＋1）dxとなる。答えは合っているのですが、解答が違います。一般に、 ∫[0→a]f(x)dx＝∫[0→a]｛f(x)｝²dx ⇔F(a)－（F（a)）²＝0 は成り立ちません…。誰か正しい解答を教えてくださいm(_ _)m はい、越後湯沢駅は何の関係もありません…。 ←問題へ戻る
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Q17-05

キレイは作れる(手作り問題)

【コメント】
このサイトの[美式]に答えを書いてしまっています…。
場所は、確か、[トップページ]→[その他いろいろ]→[美式]でしたっけ？

【解答】
ひとつ見つければいいのだ！
a＝0, b＝0, f(x)は任意(ただし、f(x)≠x)……(答)
…？？？
はい、実は、問題文にはaとbについての条件が書かれていないのでこれでもいいんです。

でも、ちょっと、ちゃんと解いてみると・・・
まず、面倒くさいから、b＝0
f(x)の原始関数のひとつをf(x)とすると、
　∫[0→a]f(x)dx＝∫[0→a]｛f(x)｝²dx
⇔F(a)－（F（a)）²＝0 ここで、f(x)＝x＋1としてみる。明らかに手抜き(笑)
すると、
F(a)－（F(a)）²＝a³/3＋a²/2＝0
整理して、a²（2a＋3）＝0 ∴a＝0, －3/2
a＝0のときは、はじめの方で書いた正しいふざけた答えである。
a＝－3/2のとき、[0→－3/2]ではおかしいので、[－3/2→0]とする。

したがって、ひとつの答えは、
∫[－3/2→0]（x＋1）dx＝∫[－3/2→0]（x²＋2x＋1）dxとなる。

答えは合っているのですが、解答が違います。
一般に、
∫[0→a]f(x)dx＝∫[0→a]｛f(x)｝²dx
⇔F(a)－（F（a)）²＝0
は成り立ちません…。誰か正しい解答を教えてくださいm(_ _)m

はい、越後湯沢駅は何の関係もありません…。

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Q17-06	チョコバナナ
【コメント】私はチョコバナナ派。インドでバナナは採れるのでしょうか。「3秒程度」と書きましたが、この問題を解くのに30分かかったら意味がない？！いやっ、一度やり方を身につけたら、あとは、計算をすればするほど元を取れるはず！【雑解】（ｉ）Mの十の位＝Nの十の位のとき、 MとNの一の位同士の積を十の位と一の位に書き、MとNの十の位×(十の位＋1)を千の位と百の位に書けばいい。 ↑なんかわかりにくい？（ｉｉ）そうでないとき(M＞Nとする)、一の位どうしをかけてその十の位にNの十の位を足したものを十の位と一の位に書き、Nの十の位×(Nの十の位＋2)をを千の位と百の位に書けばいい。 ↑ん～？例１－１)　M＝63, N＝67のとき、(（ｉ）の場合) 十の位は6なので、6×7で、42 一の位の積は、21 よって、M×N＝4221 例１－２)　M＝11, N＝19のとき、(（ｉ）の場合) 十の位は1なので、1×2で、2 一の位の積は、09 よって、M×N＝209 例２－１)　M＝33, N＝27のとき、(（ｉｉ）の場合) 十の位は2なので、2×4＝8 一の位の積は、21なので、十の位に7を足して、91 よって、M×N＝891 例２－２)　M＝42, N＝38のとき、(（ｉｉ）の場合) 十の位は3なので、3×5＝15 一の位の積は、16なので、十の位に8を足して、96 よって、M×N＝1596 （ii）は、(a－b)(a＋b)＝a²－b²を利用してもいい。とにかく、慣れれば3秒程度でできるはず！ ←問題へ戻る
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Q17-06

チョコバナナ

【コメント】
私はチョコバナナ派。
インドでバナナは採れるのでしょうか。

「3秒程度」と書きましたが、この問題を解くのに30分かかったら意味がない？！
いやっ、一度やり方を身につけたら、あとは、計算をすればするほど元を取れるはず！

【雑解】
（ｉ）Mの十の位＝Nの十の位のとき、
MとNの一の位同士の積を十の位と一の位に書き、MとNの十の位×(十の位＋1)を千の位と百の位に書けばいい。
↑なんかわかりにくい？

（ｉｉ）そうでないとき(M＞Nとする)、
一の位どうしをかけてその十の位にNの十の位を足したものを十の位と一の位に書き、Nの十の位×(Nの十の位＋2)をを千の位と百の位に書けばいい。
↑ん～？

例１－１)　M＝63, N＝67のとき、(（ｉ）の場合)
十の位は6なので、6×7で、42
一の位の積は、21
よって、M×N＝4221

例１－２)　M＝11, N＝19のとき、(（ｉ）の場合)
十の位は1なので、1×2で、2
一の位の積は、09
よって、M×N＝209

例２－１)　M＝33, N＝27のとき、(（ｉｉ）の場合)
十の位は2なので、2×4＝8
一の位の積は、21なので、十の位に7を足して、91
よって、M×N＝891

例２－２)　M＝42, N＝38のとき、(（ｉｉ）の場合)
十の位は3なので、3×5＝15
一の位の積は、16なので、十の位に8を足して、96
よって、M×N＝1596

（ii）は、(a－b)(a＋b)＝a²－b²を利用してもいい。
とにかく、慣れれば3秒程度でできるはず！

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