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【良問集】

　　　セクション17「マス湖花火大会」のページ　　




Q17-01 たまや
直角三角形ABC(∠A＝90°)の斜辺の中点をDとするとき、AD＝BD＝CDを証明せよ。
ヒントな〜し
コメント1分くらいで解けるか、1時間悩むか…

(なんか、前のセクションの背景の方が花火大会っぽかった気がする…)
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Q17-02 かぎや
鋭角△ABCにおいて、点Aから辺BCへ垂線をおろし、その交点をDとする。AE＝EDなる点Eを辺AB上に、AF＝FDなる点Fを辺AC上にそれぞれとる。

ここで、これからAB＋AC＝BCを証明する。

今、図形BEDFCを考えると、これと△ABCの外周は一致していて、Q17-01を参考にすると二等辺三角形の「山」が二つできているとみなせる。
以下、この二等辺三角形の頂点が底辺の中点に来るように折り、これを繰り返せば、AB＋AC＝BCとなる。

どこがおかしいか。

続く。
ヒントな〜し

コメント答え、忘れちゃいました…(泣)
だから、今、私はこの証明を読んで「おー。すごいじゃないですかあ〜」とちょっと間が抜けた感動を味わっている…

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Q17-03 その問題を見た佳介は(手作り問題)
佳介は上の問題をこう解いた。

AB＋BC＝ACとすると、その対称性より、
BC＋CA＝BA、CA＋AB＝CBも言える。
これを解くと、AB＝BC＝CA＝0で、この結果は図形をなしていないということになり、矛盾。
よって、上(Q17-02)の証明はおかしい。証明終。

しかし、この問題を佳介に教えたM氏は、佳介の解答を見て、もし試験でも、これは部分点すら与えられないと言った。

佳介の解答の決定的な誤りを指摘せよ。

ヒントよく読んで。

コメント上のQ17-02の答えは忘れてしまいましたが、こちらはバッチリ覚えています！
佳介クンを救ってください！

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Q17-04 わたあめ(手作り問題)
r, n, kはいずれも自然数で、r≦nとする。
次の不等式を証明せよ。

(nＣr)k≦(nk)Ｃ(rk)
ヒント3変数♪
つまり、普通には解けないんですが「自然数」という限定がpointだと思っています。

(追記：akanedotさん、問題文の訂正ありがとうございましたm(_ _)m)

コメントいい問題じゃないですか？
えっ、どうでも「いい問題」ですか？

分類数と式・高校生・わたあめってザラメをぼわぼわさせたアレですよね解答を見る→





Q17-05 キレイは作れる(手作り問題)
（1）次の等式を確かめよ。
∫[0→4]（2−√x）dx＝∫[0→4]（2−√x）2dx

（2）（1）以外で、
∫[a→b]ｆ(x)dx＝∫[a→b]｛ｆ(x)｝2dx

をみたす、a, b, ｆ(x)の組をひとつ見つけよ。
ただし、f(x)≠xとする。

ヒントな〜し

コメントもちろん計算機(PCなど)の使用はダメ〜。
でも、実は、ひとつ見つけるだけなら意外と簡単。
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Q17-06 チョコバナナ
2つの2けたの自然数MとN（M≠N）は次の2つの性質をみたす。

1）M＋Nは10の倍数
2）|M−N|は1けたの自然数

このとき、積MNは暗算で3秒程度で計算できるという。
どのようにすればよいのか。

ヒントな〜し
コメント なんで、あんなにインド式がはやったんでしょうね？
昔っから日本にもあるのに…。
というか、たぶん、数学がある国ならどこでもあるような気がいたします。
「752を3秒でできますか」だって。
できるよ…。できるに決まってる…。
別に、インドなんかに行かなくったって…。
数学が好きな人に聞けば結構知っている…。
でも、なんで、数ある国の中から「インド」なのかな？
インドと言えば、お米、作ってますよね。モンスーンの影響を直接受けちゃってさ★
あと、降雨1000mmラインがあってね♪
ライン内側では小麦で、北の方にはカシミール地方があってさ♪
地理、ほんのちょっと、好き…。

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