§23 お月見の季節の答え

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　　　セクション23「お月見の季節」の答え　　

Q23-01	よく見ると長さを求める問題だけだ（上智大）
【コメント】 ♪だんごn兄弟、ちゃんちゃん (♪本当は4兄弟・・・という歌もあるそうです。タイトルは忘れましたが…) 【雑解】（1）一番長い対角線が直径なので、一辺＝2/√3……(答) (入試問題ですから有理化すべきですかね(笑)) （2）(球面の半径)－(一辺の半分)＝(求める球の直径)である。∴(3－√3)/6……(答) （3）解き方ド忘れ…(涙) 答えは1/6です…。 ←問題へ戻る
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Q23-01

よく見ると長さを求める問題だけだ（上智大）

【コメント】
♪だんごn兄弟、ちゃんちゃん
(♪本当は4兄弟・・・という歌もあるそうです。タイトルは忘れましたが…)

【雑解】

（1）一番長い対角線が直径なので、一辺＝2/√3……(答)
(入試問題ですから有理化すべきですかね(笑))

（2）(球面の半径)－(一辺の半分)＝(求める球の直径)である。∴(3－√3)/6……(答)

（3）解き方ド忘れ…(涙)
答えは1/6です…。

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Q23-02	こういう問題ばっかりだったら教科書だっておもしろくなるのに（数Ⅲの教科書（高三理系向け、内容は主に微積分）のコラムより）
【コメント】まあ、この問題の結果を知っても、私のような凡人の実生活に何の変化もありませんが「対蹠点」という言葉は、要、チェキラ！【解答】 (教科書にあった妖艶な解答をお楽しみください。もちろん私の言葉に直してますけど…) 地点θの温度をf(θ)とする。(0≦θ≦2π) もちろんf(0)＝f(2π)である。 f(α)＝f(α＋π)をみたすαが区間　0≦α≦π　に少なくともひとつ存在することを示せばよい。ここで、F(θ)＝f(θ)－f(θ＋π)とおくと、F(α)＝0みたすαが区間　0≦α≦π　に少なくともひとつ存在することを示すことと同値。 F(0)＝f(0)－f(π) F(π)＝f(π)－f(2π)＝f(π)－f(0)より、 F(0)＝F(π)のとき、α＝0で終わり。そうでないとき、F(0)とF(π)は異符号である。よって、中間値の定理より、区間　0≦α≦π　に、F(α)＝0をみたすαが少なくともひとつ存在する。証明終 ←問題へ戻る
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Q23-02

こういう問題ばっかりだったら教科書だっておもしろくなるのに（数Ⅲの教科書（高三理系向け、内容は主に微積分）のコラムより）

【コメント】
まあ、この問題の結果を知っても、私のような凡人の実生活に何の変化もありませんが「対蹠点」という言葉は、要、チェキラ！

【解答】
(教科書にあった妖艶な解答をお楽しみください。もちろん私の言葉に直してますけど…)

地点θの温度をf(θ)とする。(0≦θ≦2π)
もちろんf(0)＝f(2π)である。

f(α)＝f(α＋π)をみたすαが区間　0≦α≦π　に少なくともひとつ存在することを示せばよい。
ここで、F(θ)＝f(θ)－f(θ＋π)とおくと、F(α)＝0みたすαが区間　0≦α≦π　に少なくともひとつ存在することを示すことと同値。
F(0)＝f(0)－f(π)
F(π)＝f(π)－f(2π)＝f(π)－f(0)より、
F(0)＝F(π)のとき、α＝0で終わり。
そうでないとき、F(0)とF(π)は異符号である。
よって、中間値の定理より、区間　0≦α≦π　に、F(α)＝0をみたすαが少なくともひとつ存在する。

証明終

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Q23-03	シータを助けたいんだ！（京大など）
【コメント】やっぱり、ジ＊リ作品の魅力はプロの声優で固めないことでしょう！でも「宅急便」は例外かも(笑) 【雑解】求める曲線の長さをLとおく。 x＝θcosθ, y＝θsinθとおくと、 dx/dθ＝cosθ－θsinθ dy/dθ＝sinθ－θcosθ L＝∫[0→π]√((dx/dθ)²＋(dy/dθ)²)dθに代入して、整理すると、 L＝∫[0→π]√(1＋θ²)dθ ここで、たとえば、√(1＋θ²)＝t－θとおく置換積分で、 L＝[log(√(1＋θ²)＋1)]^π₀ 　＝log(√(1＋π²)＋1)－log((√2)＋1)……(答) ^{なんとなく計算ミスをしているような気が致します…(汗)} ←問題へ戻る
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Q23-03

シータを助けたいんだ！（京大など）

【コメント】
やっぱり、ジ＊リ作品の魅力はプロの声優で固めないことでしょう！

でも「宅急便」は例外かも(笑)

【雑解】
求める曲線の長さをLとおく。
x＝θcosθ, y＝θsinθとおくと、
dx/dθ＝cosθ－θsinθ
dy/dθ＝sinθ－θcosθ
L＝∫[0→π]√((dx/dθ)²＋(dy/dθ)²)dθに代入して、整理すると、
L＝∫[0→π]√(1＋θ²)dθ
ここで、たとえば、√(1＋θ²)＝t－θとおく置換積分で、
L＝[log(√(1＋θ²)＋1)]^π₀
　＝log(√(1＋π²)＋1)－log((√2)＋1)……(答)

^{なんとなく計算ミスをしているような気が致します…(汗)}

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Q23-04	合体！（埼玉県高校入試参考）
【コメント】まあ、合体したら何パソかわからなくなってしまいますけどね…(笑) 「右のスペースに広々と書こう！」とありましたが、PCの画面にコンパスの針を刺したりせず、印刷するかノートなどに書き写してください。【雑解】 (今回も、やり方だけです。すみません…) 小さい正方形の一辺と大きい正方形の一辺をその二辺に持つ、その間の角が90°である直角三角形をかく。もちろん、その斜辺が求める正方形の一辺ですね。あとは略です。 ←問題へ戻る
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Q23-04

合体！（埼玉県高校入試参考）

【コメント】
まあ、合体したら何パソかわからなくなってしまいますけどね…(笑)

「右のスペースに広々と書こう！」とありましたが、PCの画面にコンパスの針を刺したりせず、印刷するかノートなどに書き写してください。

【雑解】
(今回も、やり方だけです。すみません…)

小さい正方形の一辺と大きい正方形の一辺をその二辺に持つ、その間の角が90°である直角三角形をかく。
もちろん、その斜辺が求める正方形の一辺ですね。あとは略です。

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Q23-05	21世紀の問題（千葉大参考）
【コメント】いやあ、いい問題です！今では解けます(大笑) 【解答】（1）n²－1＝(n－1)(ｎ＋1) 　　　n＝2k＋1とおくと、　　　(与式)＝4k(k＋1) 　　　kとk＋1の偶奇は異なるので、どちらかが偶数。よって、与式は8の倍数である。（2）n⁵－n＝(n－1)n(n＋1)(n²＋1) 　　　n－1, n, n＋1は連続する3つの自然数なので、必ず3の倍数が含まれる。よって、与式は3の倍数である。（3）すべての1けたの自然数で割り切れる⇔9でも8でも7でも5でも割り切れる。　　　（1）と（2）と21＝3×7であることより、あとはn⁵－nが5の倍数であることだけを示せばよい。　　　n－2が5の倍数のとき、すなわち、n＝5m＋2のとき、n²＋1が5の倍数より、n⁵－nも5の倍数。　　　n－1, n, n＋1のいずれかが5の倍数なら明らかにn⁵－nは5の倍数。　　　n＋2が5の倍数のとき、すなわち、n＝5m－2のとき、n²＋1が5の倍数より、n⁵－nも5の倍数。　　　よって、すべての自然数nでn⁵－nが5の倍数であるといえた。　　　以上より、21(n⁵－n)はnが奇数のとき、1けたのすべての自然数で割り切れる。 ←問題へ戻る
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Q23-05

21世紀の問題（千葉大参考）

【コメント】
いやあ、いい問題です！
今では解けます(大笑)

【解答】
（1）n²－1＝(n－1)(ｎ＋1)
　　　n＝2k＋1とおくと、
　　　(与式)＝4k(k＋1)
　　　kとk＋1の偶奇は異なるので、どちらかが偶数。よって、与式は8の倍数である。

（2）n⁵－n＝(n－1)n(n＋1)(n²＋1)
　　　n－1, n, n＋1は連続する3つの自然数なので、必ず3の倍数が含まれる。よって、与式は3の倍数である。

（3）すべての1けたの自然数で割り切れる⇔9でも8でも7でも5でも割り切れる。
　　　（1）と（2）と21＝3×7であることより、あとはn⁵－nが5の倍数であることだけを示せばよい。
　　　n－2が5の倍数のとき、すなわち、n＝5m＋2のとき、n²＋1が5の倍数より、n⁵－nも5の倍数。
　　　n－1, n, n＋1のいずれかが5の倍数なら明らかにn⁵－nは5の倍数。
　　　n＋2が5の倍数のとき、すなわち、n＝5m－2のとき、n²＋1が5の倍数より、n⁵－nも5の倍数。
　　　よって、すべての自然数nでn⁵－nが5の倍数であるといえた。
　　　以上より、21(n⁵－n)はnが奇数のとき、1けたのすべての自然数で割り切れる。

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Q23-06	倍数の研究（手作り）
【コメント】 nonsenseも名曲です♪ ♪先週覚えた方程式なんてあすには忘れてる　使えないもの懸命に詰め込んだ dead a few weekdays なんて、初めは「はぁ～(怒)」って気分でしたが、今ではすっかり好きな曲に…(笑) このサイトのサブタイトルはここから拝借致しました… あと、細かいことですが「先週覚えた」ってことは覚えているのになんで「あす」には忘れちゃうのかな？「昨日覚えた方程式なんて来週には忘れてる」の方が脳科学っぽくない？【解答？】ある数からpの倍数を引いても、その「ある数」がpの倍数かどうかに変化ありません。これが大切。（1）（2）たとえば、1001が7の倍数ということは、abcabcという6けたの数は7の倍数です。 abcdefが7の倍数かどうかを調べるには、abcabcを引いて、def－abcをみればいい。そんな感じで、右から3けたずつ区切り、足し引きを交互に繰り返す。 abcdefghijklmnが7の倍数かどうかの判定は、 ab－cde＋fgh－.ijk＋lmnを計算し、それが(負でも)7の倍数なら、abcdefghijklmnも7の倍数。ただし、その3けたの数が7の倍数かどうかの判定方法は、ここでは求めません。 (それを覚えておくくらいなら、私の場合は実際に7で割った方が速い…) 1001が11, 13の倍数でもあるから、7の倍数判定方法と全く同じ方法が使える。（3）有名な方法とは、きっと「各けたの数字の和が9の倍数なら、元の数も9の倍数」である。 4けたのとき、　1000a＋100b＋10c＋dとおいて、＝999a＋99b＋9c＋a＋b＋c＋d と式変形すれば明らか。nけたのときも、きっと、こんな感じでしょう。(←テキトーですみません) （4）おなじく4けたで、　(1100－100)a＋(110－10)b＋(11－1)c＋d ＝11M－(100a＋10b＋c)＋d　(Mは整数) ＝11M－((110－10)a＋(11－1)b＋c)＋d ＝11M＋10a＋b－c＋d ここで、10a＝(11－1)aと変形すれば、判定方法は「各けたの数字を交互に足し引きしてそれが11の倍数なら、元の数も11の倍数」かな、と推測できて、－c＝(10－11)cと変形すれば、判定方法は「2けたずつに区切りその和が11の倍数なら、元の数も11の倍数」かな、と推測できる。厳密な問題ではないので、このくらいでいいと思います…。結果はどちらの推測も正しいです。（5） 37×3＝111を利用して、同様に計算すると「下から3けたずつ区切りその和が37の倍数なら、元の数も37の倍数」であることが推測可能。厳密な証明はしないわ(だって合同式とか面倒くさいし)、マニアックだわ(だって面白いんだもん)で、びみょ～わ～るど(？)でしたね… そういえば、びみょ～わ～るどといえば、やっぱり「コジ＊ジ」の世界観と「少年アシ＊」の世界観ですね。あと、天てれで「あっけらか＊」ってキャラが好きでした。びみょ～ですね。 ←問題へ戻る
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Q23-06

倍数の研究（手作り）

【コメント】
nonsenseも名曲です♪
♪先週覚えた方程式なんてあすには忘れてる
　使えないもの懸命に詰め込んだ dead a few weekdays
なんて、初めは「はぁ～(怒)」って気分でしたが、今ではすっかり好きな曲に…(笑)
このサイトのサブタイトルはここから拝借致しました…
あと、細かいことですが「先週覚えた」ってことは覚えているのになんで「あす」には忘れちゃうのかな？
「昨日覚えた方程式なんて来週には忘れてる」の方が脳科学っぽくない？

【解答？】
ある数からpの倍数を引いても、その「ある数」がpの倍数かどうかに変化ありません。これが大切。

（1）（2）
たとえば、1001が7の倍数ということは、abcabcという6けたの数は7の倍数です。
abcdefが7の倍数かどうかを調べるには、abcabcを引いて、def－abcをみればいい。
そんな感じで、右から3けたずつ区切り、足し引きを交互に繰り返す。
abcdefghijklmnが7の倍数かどうかの判定は、
ab－cde＋fgh－.ijk＋lmnを計算し、それが(負でも)7の倍数なら、abcdefghijklmnも7の倍数。
ただし、その3けたの数が7の倍数かどうかの判定方法は、ここでは求めません。
(それを覚えておくくらいなら、私の場合は実際に7で割った方が速い…)

1001が11, 13の倍数でもあるから、7の倍数判定方法と全く同じ方法が使える。

（3）
有名な方法とは、きっと「各けたの数字の和が9の倍数なら、元の数も9の倍数」である。
4けたのとき、
　1000a＋100b＋10c＋dとおいて、
＝999a＋99b＋9c＋a＋b＋c＋d
と式変形すれば明らか。nけたのときも、きっと、こんな感じでしょう。(←テキトーですみません)

（4）
おなじく4けたで、
　(1100－100)a＋(110－10)b＋(11－1)c＋d
＝11M－(100a＋10b＋c)＋d　(Mは整数)
＝11M－((110－10)a＋(11－1)b＋c)＋d
＝11M＋10a＋b－c＋d

ここで、10a＝(11－1)aと変形すれば、判定方法は「各けたの数字を交互に足し引きしてそれが11の倍数なら、元の数も11の倍数」かな、と推測できて、
－c＝(10－11)cと変形すれば、判定方法は「2けたずつに区切りその和が11の倍数なら、元の数も11の倍数」かな、と推測できる。
厳密な問題ではないので、このくらいでいいと思います…。
結果はどちらの推測も正しいです。

（5）
37×3＝111を利用して、同様に計算すると「下から3けたずつ区切りその和が37の倍数なら、元の数も37の倍数」であることが推測可能。

厳密な証明はしないわ(だって合同式とか面倒くさいし)、マニアックだわ(だって面白いんだもん)で、びみょ～わ～るど(？)でしたね…

そういえば、びみょ～わ～るどといえば、やっぱり「コジ＊ジ」の世界観と「少年アシ＊」の世界観ですね。
あと、天てれで「あっけらか＊」ってキャラが好きでした。びみょ～ですね。

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