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【良問集】

　　　セクション23「お月見の季節」のページ　　




Q23-01 よく見ると長さを求める問題だけだ(上智大)
半径1の球面の内側にあり、すべての頂点がその球面上にある立方体について次の問いに答えよ。

（1）立方体の1辺を求めよ。
（2）球面の内側で、立方体の外側にある最大の球の半径を求めよ。
（3）球面の内側で、立方体と（2）の球より外側にあり、（2）の球に接している最大の球の半径を求めよ。　

ヒント（1）はひっかからぬように★
コメント（3）の答えに√がでてきたら、（1）でひっかかっている可能性が…。
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Q23-02 こういう問題ばっかりだったら教科書だっておもしろくなるのに（数Vの教科書（高三理系向け、内容は主に微積分）のコラムより）
赤道上の温度分布が連続的であるとき、必ず、ある赤道上の一点とその対蹠点で温度が同じであるような点の組が一つ以上存在することを証明せよ。　

ヒントわかりにくいのでひとつずつ例をあげて解説。
●「赤道上の温度分布が連続的である」とは、たとえばある赤道上の一点が30℃のとき、その点のほんのちょっと西や東の温度は30＋d℃
（dは限りなく0に近い正または負の数。−1＜＜d＜＜1）となることをいう。つまり、一歩歩いたら一気に＋10℃になるなどということがない、地球の普通の状態であることをいっている。
●「（ある点の）対蹠点（たいせきてん）」とは、簡単にいえばある点からみて地球の真裏。たとえば北極点の対蹠点は南極点だし、千葉マリンスタジアムの対蹠点はおよそウルグアイの東の大西洋あたり。
コメントいい問題です。
もちろん高度は無視する(笑)
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Q23-03 シータを助けたいんだ！(京大など)
極方程式 r＝θ(0≦θ≦π) で表される曲線の長さは？
ヒントシンプルスッキリきれいな問題。

追記：以前は計算ミスをしていたため答えもきれいだと思っていましたが、実際はきたないです…。はい。
コメント積分は数Vの最後の分野で、極方程式は数Cの最後の分野です。
(今は違うかもしれませんけど…)
だからこれを解くということは高校数学をすべてやったという証にもなる、かも…。
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Q23-04 合体！(埼玉県高校入試参考)
ここに大きさの違う2つの正方形がある。
コンパスと定規を使い、この2つの正方形の面積を合わせた面積を持つ正方形を作図せよ。
ヒント引用元は中学生が解く高校入試の問題。
それが最大のヒント。

コメント右のスペースに広々と書こう！
分類図形・中学生・こちらアソパソマソ！ナルーパソマソとショックパソマソと最終合体準備に入ります！解答を見る→





Q23-05 21世紀の問題(千葉大参考)
nを奇数とするとき以下の問いに答えよ。

(1) n2−1は8の倍数であることを証明せよ。

(2) n5−nは3の倍数であることを証明せよ。

(3) 21(n5−n)は1けたの自然数すべてで割り切れることを証明せよ。

ヒントな〜し
コメント誘導はキレイですね。
さあ、何で解く？？？
分類数と式・高校生・ほんのちょっとだけ私の忘れられない問題解答を見る→





Q23-06 倍数の研究(手作り)
ある大きな自然数nと小さな自然数kがある。

（1）nが7の倍数かどうかを判定する方法を、7k＝1001をもとに考えよ。
（2）nが11の倍数かどうか、また、13の倍数かどうか判定する方法を（1）をもとに考えよ。
（3）nが9の倍数かどうか判定する有名な方法がある。それを証明せよ。
（4）（3）を参考にするとnが11の倍数かどうかを判定する別の方法が見つかる。それを考えよ。
（5）（3）（4）を参考にしてnが37の倍数かどうか判定する方法を考えよ。

ヒント倍数の"研究"なので厳密な問題ではありませんね。
ごめんなさいm(_ _)m
コメントもともとは私が、7の倍数の判定法ってなんだったっけなと、ふと思ったのがきっかけ。
それで、ついでにいろんな数でその倍数の判定法を導いてみたってわけです…。
実用性は低いようにみえますが、コンピュータに計算させるときとかに使える？

他にもこんなのを見つけちゃいました！
17の倍数の判定法→たとえばnが8けただとすると、左から2けたずつ区切り、n＝ABCDとおくと、
8A−4B＋2C−Dが17の倍数ならば、nも17の倍数である！
あと、6の倍数も同じように判定できるんですが、ビミョーですね…。ナンセンスです…。

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