§25 円周率の日にの答え

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　　　セクション25「円周率の日に」の答え　　

Q25-01	Union(大阪教育大参考)
【コメント】「タイトルが神」って・・・(^_^;); さて、"Union"は「結合」少し調べるとどうやらf(n)＝2^n－1のような気がします。ここで、g(n):＝{自然数nをそれ以下の自然数の和で書き表す表し方}とすると、たとえば、n＝4のとき、f(4)は、 (i) 4 (ii) 3＋g(1)(＝3＋(1)) (iii) 2＋g(2)(＝2＋(1＋1), 2＋(2)) (iv) 1＋g(3)(＝1＋(1＋1＋1), 1＋(1＋2), 1＋(2＋1), 1＋(3)) で、{1＋f(1)＋f(2)＋f(3)}個。ちょっとわかりにくいけど、そういうことなのでこれをまとめればOK！【雑解】 f(n)＝1＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1) (n≧2)である。……① これと、f(n＋1)＝1＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n)……② で、②－①より、 f(n＋1)－f(n)＝f(n) f(n＋1)＝2f(n) これは、n＝1のときも満たすので、f(n)を数列とみなせば、初項1, 公比2の等比数列となるので、 f(n)＝2^n－1……(答) ←問題へ戻る

Q25-01

Union(大阪教育大参考)

【コメント】
「タイトルが神」って・・・(^_^;);

さて、"Union"は「結合」

少し調べるとどうやらf(n)＝2^n－1のような気がします。
ここで、g(n):＝{自然数nをそれ以下の自然数の和で書き表す表し方}とすると、
たとえば、n＝4のとき、f(4)は、
(i) 4
(ii) 3＋g(1)(＝3＋(1))
(iii) 2＋g(2)(＝2＋(1＋1), 2＋(2))
(iv) 1＋g(3)(＝1＋(1＋1＋1), 1＋(1＋2), 1＋(2＋1), 1＋(3))
で、{1＋f(1)＋f(2)＋f(3)}個。
ちょっとわかりにくいけど、そういうことなのでこれをまとめればOK！

【雑解】
f(n)＝1＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1) (n≧2)である。……①
これと、f(n＋1)＝1＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n)……②
で、②－①より、
f(n＋1)－f(n)＝f(n)
f(n＋1)＝2f(n)
これは、n＝1のときも満たすので、f(n)を数列とみなせば、初項1, 公比2の等比数列となるので、
f(n)＝2^n－1……(答)

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Q25-02	未完成な問題(手作り問題)
【コメント】「出発進行！茄子のおしんこう！」の意味が長い間わかりませんでした…。「お新香」なんて5才児が使うかっつーの…(笑) ちなみに「出発進行」というのは「出発信号が進行状態」の略です。「出発信号が注意状態」なら「出発注意」ってよく言うでしょ？ (・・・言わないですか？) タイトルは「未完成な問題」ということで、このf(n)は面白いのに(1)も(2)も微妙…ってことですよ。誰か助けて！【解答】 (1) 1≦n≦4のとき、f^N(n)＝nである。 5≦nのとき、必ず1円玉より金額が上の貨幣が1枚以上使われる。よって明らかにf(n)＞n したがって、5≦nのとき、f^N(n)は常に減少するので、f^N(n)≦4　証明終 (2) プログラムを書いてn＝1から10000くらいでfⁿ(n)を求めましたが、何か見えそうで見えません。もうちょっとがんばってみます…。 ←問題へ戻る

Q25-02

未完成な問題(手作り問題)

【コメント】
「出発進行！茄子のおしんこう！」の意味が長い間わかりませんでした…。
「お新香」なんて5才児が使うかっつーの…(笑)
ちなみに「出発進行」というのは「出発信号が進行状態」の略です。
「出発信号が注意状態」なら「出発注意」ってよく言うでしょ？
(・・・言わないですか？)

タイトルは「未完成な問題」ということで、このf(n)は面白いのに(1)も(2)も微妙…ってことですよ。誰か助けて！

【解答】
(1)
1≦n≦4のとき、f^N(n)＝nである。
5≦nのとき、必ず1円玉より金額が上の貨幣が1枚以上使われる。よって明らかにf(n)＞n
したがって、5≦nのとき、f^N(n)は常に減少するので、f^N(n)≦4　証明終

(2)
プログラムを書いてn＝1から10000くらいでfⁿ(n)を求めましたが、何か見えそうで見えません。
もうちょっとがんばってみます…。

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Q25-03	Enigma
【コメント】 Enigmaといえばenigmatic smileですが(訳(やく)はよくわかりませんが)これもキラキラの名曲。 ♪La La tu lu Rah Taで始まる！ ♪la la la la la la じゃない！「la la la lai体操」とは、もちろん無関係。ところで、この問題はちょっと有名。てっきりすでに掲載していたと思っていたくらいです。【解答】左からA, B, Cとして、Bが空だとする。何も知らない私にとってAを選んだとき、当たる確率は明らかに1/3 ディーラーはBの箱を開ける。ここから参加した人にとってはAでもCでも1/2であるが、私はディーラーが開けたのを見ているというのがポイントで、私にとってAが当たりの確率は1/3で、BかCが当たりの確率が2/3であった。よって、ディーラーの行為によって、Cに入っている確率が2/3と確定したので変えるべきである。帰るべきではない。考えれば考えるほど深みにはまる問題。条件付き確率とか使わなくてもこの程度でいいのではと思うけど…。信じられなかったら実際に誰かと300回くらいやってみたらいいと思います。でも、面倒くさいと言われて相手にされない可能性もありますが、ご安心を。1人でも出来ます(笑) もちろんプログラムでも書ければ早いけど、アナログでもOK！常にAを当たりとして、私はサイコロを振って、1か2のときはA、3か4のときはB、5か6のときはCを選ぶ。次にB(Bを選んでいたらC)を開けて、私はサイコロを振って、奇数が出たら変える、偶数が出たら変えないとして300回くらいやってみればいいのだ！ ←問題へ戻る

Q25-03

Enigma

【コメント】
Enigmaといえばenigmatic smileですが(訳(やく)はよくわかりませんが)これもキラキラの名曲。
♪La La tu lu Rah Taで始まる！
♪la la la la la la じゃない！

「la la la lai体操」とは、もちろん無関係。

ところで、この問題はちょっと有名。
てっきりすでに掲載していたと思っていたくらいです。

【解答】
左からA, B, Cとして、Bが空だとする。
何も知らない私にとってAを選んだとき、当たる確率は明らかに1/3
ディーラーはBの箱を開ける。
ここから参加した人にとってはAでもCでも1/2であるが、私はディーラーが開けたのを見ているというのがポイントで、私にとってAが当たりの確率は1/3で、BかCが当たりの確率が2/3であった。
よって、ディーラーの行為によって、Cに入っている確率が2/3と確定したので変えるべきである。帰るべきではない。

考えれば考えるほど深みにはまる問題。条件付き確率とか使わなくてもこの程度でいいのではと思うけど…。
信じられなかったら実際に誰かと300回くらいやってみたらいいと思います。
でも、面倒くさいと言われて相手にされない可能性もありますが、ご安心を。1人でも出来ます(笑)
もちろんプログラムでも書ければ早いけど、アナログでもOK！

常にAを当たりとして、私はサイコロを振って、1か2のときはA、3か4のときはB、5か6のときはCを選ぶ。
次にB(Bを選んでいたらC)を開けて、私はサイコロを振って、奇数が出たら変える、偶数が出たら変えないとして300回くらいやってみればいいのだ！

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Q25-04	the Eldest Pierrot
【コメント】問題のタイトルは"the Eldest Pierrot"で「その中で一番年上のピエロ」という感じの意味。つまりaのことです。ピエロは一見おどけているが実はかなり頭がいいっていう私のなんか勝手なイメージがあって、この問題のヒントになっているような、そうでもないような…。【雑解】　(a^x＋b^x＋c^x)^1/x ＝a(1＋(b/a)^x＋(c/a)^x)^1/x……① このとき、 1＜(1＋(b/a)^x＋(c/a)^x)≦3 だから、 a＜①≦a・3^1/x よって、はさみうちの原理より、x→∞のとき、①→a……(答) ←問題へ戻る

Q25-04

the Eldest Pierrot

【コメント】
問題のタイトルは"the Eldest Pierrot"で「その中で一番年上のピエロ」という感じの意味。
つまりaのことです。
ピエロは一見おどけているが実はかなり頭がいいっていう私のなんか勝手なイメージがあって、この問題のヒントになっているような、そうでもないような…。

【雑解】
　(a^x＋b^x＋c^x)^1/x
＝a(1＋(b/a)^x＋(c/a)^x)^1/x……①
このとき、
1＜(1＋(b/a)^x＋(c/a)^x)≦3
だから、
a＜①≦a・3^1/x
よって、はさみうちの原理より、x→∞のとき、①→a……(答)

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Q25-05	新宿経由オイラー線直通特別快速
【コメント】「72時間戦えますか」ってこ＊亀ネタですよね。まあ、別に、なんでもよくて、実はこの問題にはもう1つタイトル候補がありまして「みんなのオイラー線」「みんな」と「オイラー」が響き合っている。採用した方は地元ネタ。 (それこそどうでもいいですね) ところで、この解答を見たとき、妖しくも美しい深海生物を見たような気分でした。私が全く思いつかなそうすぎる解法で「思いつかんわ！」という怒りを通り超えました…。深海生物には気持ち悪いのが多いですが、中には美しいのもいるじゃないですか。「たとえば？」って言われても名前が出てきません…。とにかく、鑑賞しましょう。【雑解】 (図はいつか…) △ABCの外接円の直径ADとなるように点Dを円周上に定める。辺BCの中点を点Mとする。ここで、BHとDCが平行、CHとDBが平行なので、四角形BDCHは平行四辺形つまり、点Mはその平行四辺形の対角線の中点でもある。また、OMとAHが平行で、DO＝OA、DM＝MOより、中点連結定理から、 OM＝(1/2)AH また、下線のついているものはベクトルとして、 OM＝(1/2)(OB＋C)＝(1/2)AH よって、OH＝OA＋OB＋OC また、OG＝(1/3)(OA＋OB＋OC)なので、OH＝3OG ∴点O、点H、点Gは一直線上にある。実際に図をかきながらこの解答を読むと感動しかしません。【別解】 (こんな問題はいくらでも、別解がありそうです) OH'＝OA＋OB＋OCなる点H'が垂心Hと一致すればいい。 AH'・BC＝(OA＋OB＋OC－OA)(OC－OB) 　　　　　　＝｜OC｜²－｜OB｜²＝0 よって、垂直。同様に、BH'⊥CA、CH'⊥ABより、点H'は垂心Hに一致する。　証明終 ←問題へ戻る

Q25-05

新宿経由オイラー線直通特別快速

【コメント】
「72時間戦えますか」ってこ＊亀ネタですよね。
まあ、別に、なんでもよくて、実はこの問題にはもう1つタイトル候補がありまして「みんなのオイラー線」
「みんな」と「オイラー」が響き合っている。
採用した方は地元ネタ。

(それこそどうでもいいですね)

ところで、この解答を見たとき、妖しくも美しい深海生物を見たような気分でした。
私が全く思いつかなそうすぎる解法で「思いつかんわ！」という怒りを通り超えました…。
深海生物には気持ち悪いのが多いですが、中には美しいのもいるじゃないですか。
「たとえば？」って言われても名前が出てきません…。
とにかく、鑑賞しましょう。

【雑解】
(図はいつか…)

△ABCの外接円の直径ADとなるように点Dを円周上に定める。
辺BCの中点を点Mとする。
ここで、BHとDCが平行、CHとDBが平行なので、四角形BDCHは平行四辺形
つまり、点Mはその平行四辺形の対角線の中点でもある。
また、OMとAHが平行で、DO＝OA、DM＝MOより、中点連結定理から、
OM＝(1/2)AH
また、下線のついているものはベクトルとして、
OM＝(1/2)(OB＋C)＝(1/2)AH
よって、OH＝OA＋OB＋OC

また、OG＝(1/3)(OA＋OB＋OC)なので、OH＝3OG
∴点O、点H、点Gは一直線上にある。

実際に図をかきながらこの解答を読むと感動しかしません。

【別解】
(こんな問題はいくらでも、別解がありそうです)

OH'＝OA＋OB＋OCなる点H'が垂心Hと一致すればいい。

AH'・BC＝(OA＋OB＋OC－OA)(OC－OB)
　　　　　　＝｜OC｜²－｜OB｜²＝0
よって、垂直。
同様に、BH'⊥CA、CH'⊥ABより、点H'は垂心Hに一致する。　証明終

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Q25-06	ぴ～ちゃん
【コメント】あまりにもコンビニに売ってないから、わざわざ遠い郵便局まで雨の中を歩いたことがあります…。 ^{寒かったよ～(T_T)} 【雑解】 (図はきっとかかないです！) その弦の端点を、円周上に左回りに点A, 点C, 点B, 点Dとする。中心Oから弦ABへ垂線OMを下ろし、弦CDへ垂線ONを下ろす。 OP＝OM＋ON……① ここで、 AB/2－PB＝MP＝OH DC/2－PC＝NP＝OM を、①に代入して、整理すると、 PA→＋PB→＋PC→＋PD→＝2PO→ ←問題へ戻る
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Q25-06

ぴ～ちゃん

【コメント】
あまりにもコンビニに売ってないから、わざわざ遠い郵便局まで雨の中を歩いたことがあります…。

^{寒かったよ～(T_T)}

【雑解】
(図はきっとかかないです！)

その弦の端点を、円周上に左回りに点A, 点C, 点B, 点Dとする。
中心Oから弦ABへ垂線OMを下ろし、弦CDへ垂線ONを下ろす。
OP＝OM＋ON……①
ここで、
AB/2－PB＝MP＝OH
DC/2－PC＝NP＝OM
を、①に代入して、整理すると、
PA→＋PB→＋PC→＋PD→＝2PO→

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