【良問集】
セクション25「円周率の日に」のページ
| Q25-01 | Union(大阪教育大参考) | |
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| ｆ(n):＝｛自然数nをそれ以下の自然数の和で書き表す表し方の個数｝と定める。 たとえば、n＝4ならば、 1＋1＋1＋1, 1＋1＋2, 1＋2＋1, 2＋1＋1, 1＋3, 3＋1, 2＋2, 4 の8通りあるので、 ｆ(4)＝8となる。 ｆ(n)をnの式であらわせ。 |
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| ヒント | まず、手を動かして実験。 |
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| コメント | 4つほど言わせてもらうことにして…。 1つ、それ以下の自然数の和に、n単独も含めることにします。 2つ、まあまあきれいな答え。証明も示して。 3つ、「円周率の日に」とか言いながら答えがπの問題ばかり集めているなんてことをしていなくてすみませんm(_ _)m 4つ、このセクション以降にディクの暗号はありません。黒藤らによって見事に解決したんです！バンザーイ！！ |
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| 分類 | 数と式・高校生・タイトルが神 | 解答を見る→ |
| Q25-02 | 未完成な問題(手作り問題) | |
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| ｆ(n):＝｛n円支払うときに最低必要な貨幣の枚数｝と定める。 たとえば、1480円を支払うには1000円札1枚＋100円玉4枚＋50円玉1枚＋10円玉3枚必要なので、 ｆ(1480)＝9となる。 また、ｆ(ｆ(n))なども定め、これをｆ2(n)と書く。 たとえば、ｆ(ｆ(1480))＝ｆ(9)＝4となる。 (1)十分大きなNに対して、ｆN(n)がどんなnに対しても4以下になることを証明せよ。 (2)ｆn(n)をnの式で表せ。 |
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| ヒント | な〜し |
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| コメント | こんなｆ(n)があったらきっといい問題を作れるだろうな！って最初は思ったのですが、このありさまです…。 しかも、(2)とか解けてません…。 …修行に出ます。 |
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| 分類 | 数と式・中学生？・高校生？・見切り発車 | 解答を見る→ |
| Q25-03 | Enigma | |
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| ディーラーが3つの箱の中のうち1つに当たりを入れた。どこに入れたか知らない私がある1つを選んだところ、ディーラーは残りの2つのうち1つの箱を開けて空であることを示した。ここで選択を変えてもよいと言われたが、当てるには選択を変えるべきか？ |
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| ヒント | 厳密なのは厳しいですが、それなりの解答なら中学生でも作れるんじゃないですかね？ (↑あっ、ヒントじゃない…) |
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| コメント | 始めの3つの箱は初めから3つだったとします。 つまり、このお話の前に4つ以上の箱で同じようなやり取りがなかったということ。 うーん、ふくざつぅ〜。 |
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| 分類 | 確率・有名問題・中学生・高校生・♪緩やかに消滅する | 解答を見る→ |
| Q25-04 | the Eldest Pierrot | |
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| a≧b≧c＞0のとき次の極限を求めよ。 lim[x→∞](ax＋bx＋cx)1/x |
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| ヒント | はさみうち |
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| コメント | 急に、アッ、the数学って感じになっちゃいました(大笑) |
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| 分類 | 数と式・高校生・althemath | 解答を見る→ |
| Q25-05 | 新宿経由オイラー線直通特別快速 | |
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| △ABCの外心をO、垂心をH、重心をGとするとき、点O、点H、点Gは一直線上にあることを証明せよ。 |
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| ヒント | ベクトルで戦ってみますか？ |
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| コメント | この直線をオイラー線というんだとさ。 ニュートン線とかシムソン線とか線にまで名前をつける数学者って一体…。 |
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| 分類 | 図形・高校生・72時間戦えますか | 解答を見る→ |
| Q25-06 | ぴ〜ちゃん | |
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| ある円の直交する弦AB, CDの交点をPとするとき、 PA＋PB＋PC＋PD＝2PO を証明せよ。 |
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| ヒント | 「直交」ときたら、いつも「内積＝0」では危険。 とりあえず、円の中心Oから・・・ |
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| コメント | 個人秘書に鉛、巡査にパラジウムを合わせたら2つの郵便局(？) |
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| 分類 | 図形・高校生・そういえば往復はがきはコンビニではあまり取り扱っていません | 解答を見る→ |
