数学良問集もくじ＞§26 大雪警報の日＞答え


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　　　セクション26「大雪警報の日」の答え　　



Q26-01 モデルvsカメラマンvsスタッフ(コマ大参考)
【コメント】
キャメラ(笑)

【雑解】
(例によって、図は、いつの日にか・・・)
参加可能時刻は、カメラマンも、モデルも0分00秒〜9分00秒である…@
(たとえば、9分30秒から参加すると、30秒しかいられず、題意(1分間参加)に反する。)
カメラマンの参加可能時刻をx、モデルの参加時刻をyとすると、0＜|x−y|＜1のときに、写真が撮れる。
@の範囲でこの領域の面積は17
@の領域の面積は9×9で81
よって、求める確率は17/81

フィルムのコマ数(1秒に24コマとかいうあっちの専門的なお話)も無視でいいそうです…。
↑何を今更！

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Q26-02 a roll playing game?（手作り問題）
【コメント】
デイジー姫の位置づけが未だにわかりません…

【雑解】
それでは傑作の解説をしていきます(笑)

西からk番目の部屋にいるときの、成功率をP(k)とおく。
(P(1)を求めればいい。)
第k(2≦k≦n−1)番目の部屋においての成功は、(西の部屋に行き、いつか成功する)または(東の部屋に行き、いつか成功する)である。
これを式にすると、
P(k)＝(1/2)×P(k−1)＋(1/2)×P(k＋1)…@
(↑要するに、漸化式ね♪)

k＝1のときは、西の部屋に行くと失敗なので、
P(1)＝(1/2)×0＋(1/2)×P(2)
k＝nのときは、東の部屋に行くとゴールなので、
P(n)＝(1/2)×P(n−1)＋(1/2)×1…A
あとは、これらから、P(1)を求めればよい。
(しかし、私はここで手こずってしまいました…
問題を作ってからしばらくたってから、再び解いてみると結構忘れているんです…)
@を繰り返し適用して、
P(k)−P(k−1)＝P(k−1)−P(k−2)＝……＝P(2)−P(1)＝P(1)
等差が、P(1)なので、P(n)＝nP(1)…B
また、P(n−1)＝nP(n−1)
この2式を、Aへ代入して、P(1)＝1/(n＋1)……(答)

非常にキレイな答えが得られました。
でも、実は、これはちょっと複雑な問題なんです。
Bから、P(2)＝2/(n＋1)やP(n)＝n/(n＋1)がわかりますが、すべてのP(k)にnが残っています！
そうです、厳密には、P(n, k)＝k/(n＋1)なんです！
2変数なんです。
でも、何で1変数として考えても、解けてしまったかは、私にはわかりません…
不思議でしたね〜、ということで！
ばいきゅ〜

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Q26-03 a role playing game
【コメント】
エリス〜！
あのお話のどこが深いのか、そして、どうしてこんなに長年読み続けられているのかがわかりません…

【解答】
きっと、完全順列の問題。
だから、解けない…
まさか、未解決問題だったりしちゃったりするんでしょうか…。

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Q26-04 in coma
【コメント】
「死ねばいいのに…」は言いすぎました。
「この世から消え去ればいいのに…」にしておきましょうか。
(↑変わってねぇ…)

【流れ】
面白い問題だなと思って、それだけで載せちゃいましたが、答えを見てもよくわかりません…(泣)

aは整数、bは自然数のとき、a＜nbをみたす自然数nが存在する。
(アルキメデスの原理)
aが整数ならどうであれ、nが下に有界であることを示す。
(↑予想はしてましたが、[ゆうかい]と打って変換しても[有界]と出るわけもなく…)
下に有界なので必ず最小値を持ち、その値をmとおく。
(↑そうなの？)
最小値だから、mは唯一に決まる。
(↑確かに)
ここで、m＝q＋1となる整数qを考えると、qb≦a＜(q＋1)bは明らか。
(↑確かに)
すなわち、0≦a−qb＜bとなり、r＝a−qbとおくと、0≦r＜b
a＝qb＋rかつ0≦r＜b、qが唯一つなのでrも唯一つに決まる。
証明終

(えっと、qが商で、rがあまりですよね？
証明を読んだら、何となくわかったような気にはなりますが、それでもなんかモヤモヤ感が残るな…)

あっと、この証明の流れは、(整数)÷(自然数)の場合です。
その方が応用が広そうですが、問題文はちょっと変えて、(自然数)÷(自然数)としているので、nが下に有界であることを示すのは、ちょっとだけかんたんになりますね。
いやいや、ポイントはそこじゃなくて、そもそもなんで「有界」を使って証明するのかな？ってことです。
こんな高級でシンプルな証明じゃなくて、複雑でもいいからわかりやすい証明はないの？

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Q26-05 スパか、ゲッティか…
【コメント】
そうだよね、ポキポキ折りながら解いたら、それを茹でたら短いよね。
だから、折らずに、数式で戦えばいいんです！

【雑解】
折った3本を、a, b, L−(a＋b)とする。
何も考えずに、
L−(a＋b)=c
a＋b＞c
b＋c＞a
c＋a＞b
これらの不等式から領域を、a-bグラフに図示して面積を求めればよい。
その面積が、「三角形が成立する部分」である。
この面積は、L2/8
また、スパゲッティを折り、0＜a＜L, 0＜b＜L, 0＜a＋b＜Lの範囲を超えることはない。
この面積は、L2/2
したがって、求める確率は、1/4……(答)

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Q26-01 時を超えた出逢い(手作り問題)
【コメント】
ねずみ年だぜぃ。
ホントは猫年になるかもしれなかったのにね…。

【解答】
(流れるような式変形だけで済む問題のつもりで作りましたがいかがでしたか？)

　∫(x2007＋2008＋2008x2007)(x2008＋2008)2007dx
＝∫x2007(x2008＋2008)(x2008＋2008)2007dx
＝∫(1/2008)(x2008＋2008)'(x2008＋2008)2008dx　←"ちょん"は微分です…。
＝(1/2008)[(x2008＋2008)2009/2009]

[0→1]より、これを計算すると、
(20092008/2008)−(20082008/2009)……(答)
(↑通分してもいいんですが、その辺は好みの問題ですよね。私は分けました)

数字が暴れているように見えて、大変見にくい解答ですが、実際に、紙にペンで書いてみると、その動きの美しさに感動するはず！
(…って、自画自賛ですみません…)
ついでに「時を超えた」というのは、問題文は「2007と2008」だったのに答えは「2008と2009」となるからです！

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