§27 ホワイトクリスマスの答え

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　　　セクション27「ホワイトクリスマス」の答え　　

Q27-01	真打ち(手作り問題)
【コメント】私はアイちゃんファン。【解答】 (最後まで解き抜く力があるかどうかを見るような感じの問題) ケン、アミ、ヒカリが見つけた解答の、中央の数をそれぞれ、a, b, cとおく。アイコの見つけた解答は320個の数なので、中央がないため、小さい方から160番目をdとおく。求める数をSとおくと、 S＝5a　(ケン) S＝25b　(アミ) S＝125c　(ヒカリ) S＝160(2d＋1)　(アイコ) となる。これは直接は解けませんが、では、どう使うのか…。まずは、(ケン)より、Sが5の倍数だとわかります！同様に、(アミ)より、25の倍数だとわかりますが、(ヒカリ)の条件のみから、125の倍数だとわかります。 (アイコ)からは、S＝160×(奇数)だとわかります。つまり、(ヒカリ)と(アイコ)より(←光哀(笑))、S＝4000×(奇数)だとわかる！……１本目の道次に、アイコの解答は222, 333, 444を含んでいて、ヒカリの解答は777を含んでいることから、不等式で絞り込んだりすればいいのですが、実は、アイコの方の条件は必要ありません！ (問題を載せたあとで気づきました…) 数学の問題としてはあまり好まれる事態ではありませんが、会話の流れ上、このままでもいいですよね？というか、むしろ、あった方がいい！「666と888がない」というのも忘れず考えて、125個の中に777が含まれているということは、最小：667, ……, 791　→　中央は729 最大：763, ……, 887　→　中央は820 つまり、　729≦c≦820 ⇔729×125≦125c≦820×125 ⇔91125≦S≦102500……２本目の道だいぶ絞り込めてきました…。ここで、１本目の道と２本目の道を合わせると、 S＝92000または100000 となります。これで終わりでしょうか？もちろん「いいえ」。アイコが「ちょうどこの4種類の答えしかないことも証明できる」とおっしゃっているので、92000と100000の場合で確認します。ここからが、3本目の道です。まず、n＋1からn＋kまでの自然数の和は、k(2n＋k＋1)/2 kが奇数ならば、(2n＋k＋1)は偶数。 kが偶数ならば、(2n＋k＋1)は奇数。 92000＝k(2n＋k＋1)/2とおくと、2×92000＝(奇数)×(偶数) ここで、 2×92000＝2⁵・5³・23なので、 2×92000＝5×(偶数) 　　　　　＝25×(偶数) 　　　　　＝125×(偶数) 　　　　　＝23×(偶数) 　　　　　＝115×(偶数) (奇数)×(偶数)の組合せは、5通りあることがわかり、S＝92000は不適。同様に、100000の場合は、4通りある。よって、S＝100000……(答) 解けましたか…？ニヒヒ。 ←問題へ戻る

Q27-01

真打ち(手作り問題)

【コメント】
私はアイちゃんファン。

【解答】
(最後まで解き抜く力があるかどうかを見るような感じの問題)

ケン、アミ、ヒカリが見つけた解答の、中央の数をそれぞれ、a, b, cとおく。
アイコの見つけた解答は320個の数なので、中央がないため、小さい方から160番目をdとおく。
求める数をSとおくと、
S＝5a　(ケン)
S＝25b　(アミ)
S＝125c　(ヒカリ)
S＝160(2d＋1)　(アイコ)
となる。
これは直接は解けませんが、では、どう使うのか…。
まずは、(ケン)より、Sが5の倍数だとわかります！
同様に、(アミ)より、25の倍数だとわかりますが、(ヒカリ)の条件のみから、125の倍数だとわかります。
(アイコ)からは、S＝160×(奇数)だとわかります。
つまり、(ヒカリ)と(アイコ)より(←光哀(笑))、S＝4000×(奇数)だとわかる！……１本目の道

次に、アイコの解答は222, 333, 444を含んでいて、ヒカリの解答は777を含んでいることから、不等式で絞り込んだりすればいいのですが、実は、アイコの方の条件は必要ありません！
(問題を載せたあとで気づきました…)
数学の問題としてはあまり好まれる事態ではありませんが、会話の流れ上、このままでもいいですよね？
というか、むしろ、あった方がいい！
「666と888がない」というのも忘れず考えて、125個の中に777が含まれているということは、
最小：667, ……, 791　→　中央は729
最大：763, ……, 887　→　中央は820
つまり、
　729≦c≦820
⇔729×125≦125c≦820×125
⇔91125≦S≦102500……２本目の道

だいぶ絞り込めてきました…。
ここで、１本目の道と２本目の道を合わせると、
S＝92000または100000
となります。
これで終わりでしょうか？
もちろん「いいえ」。
アイコが「ちょうどこの4種類の答えしかないことも証明できる」とおっしゃっているので、92000と100000の場合で確認します。
ここからが、3本目の道です。
まず、n＋1からn＋kまでの自然数の和は、k(2n＋k＋1)/2
kが奇数ならば、(2n＋k＋1)は偶数。
kが偶数ならば、(2n＋k＋1)は奇数。
92000＝k(2n＋k＋1)/2とおくと、2×92000＝(奇数)×(偶数)
ここで、
2×92000＝2⁵・5³・23なので、
2×92000＝5×(偶数)
　　　　　＝25×(偶数)
　　　　　＝125×(偶数)
　　　　　＝23×(偶数)
　　　　　＝115×(偶数)
(奇数)×(偶数)の組合せは、5通りあることがわかり、S＝92000は不適。
同様に、100000の場合は、4通りある。
よって、S＝100000……(答)

解けましたか…？ニヒヒ。

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Q27-02	先鋒(手作り問題)
【コメント】あと、「ぴょこぴょこ」も言いにくいだけじゃなくて、入力しにくいです。ローマ字入力です。ちなみに、携帯で「本物のおもちゃの時計」と打つのも面倒くさいです。 (うまく#を使っておられる方や、ポケベル方式の方には関係ないお話ですが…) 【解答】 Q03-01が思いっきりヒントです。というわけで、トイレットペーパーの体積は、(10√5)²πh　(hは高さ) また、トイレットペーパーを全部巻き取り出して、縦がπ/100、横がL、高さがhの直方体として考えると、その体積は、πhL/100 2式より、　500πh＝πhL/100 ⇔L＝50000(mm)……(答) (つまり、50m) ←問題へ戻る

Q27-02

先鋒(手作り問題)

【コメント】
あと、「ぴょこぴょこ」も言いにくいだけじゃなくて、入力しにくいです。ローマ字入力です。
ちなみに、携帯で「本物のおもちゃの時計」と打つのも面倒くさいです。
(うまく#を使っておられる方や、ポケベル方式の方には関係ないお話ですが…)

【解答】
Q03-01が思いっきりヒントです。
というわけで、トイレットペーパーの体積は、(10√5)²πh　(hは高さ)
また、トイレットペーパーを全部巻き取り出して、縦がπ/100、横がL、高さがhの直方体として考えると、その体積は、πhL/100
2式より、
　500πh＝πhL/100
⇔L＝50000(mm)……(答)

(つまり、50m)

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Q27-03	次鋒(手作り問題)
【コメント】でもいつか必ず私たちの所へ戻ってくるよね、怜奈ちゃんは…。 (51107で真ん中の1を"！"として使って語呂合わせしてるだけです…) 【雑解】 (57010だったらなあ～ってひとりごと！) 51107＝7³・149より、 (1＋7＋7²＋7³)(1＋149)を展開すると、51107のすべての正の約数がわかる。しかし、総和を求めるだけなので、展開せずにこのまま計算すると、　(1＋7＋7²＋7³)(1＋149) ＝400×150 ＝60000……(答) ←問題へ戻る

Q27-03

次鋒(手作り問題)

【コメント】
でもいつか必ず私たちの所へ戻ってくるよね、怜奈ちゃんは…。
(51107で真ん中の1を"！"として使って語呂合わせしてるだけです…)

【雑解】
(57010だったらなあ～ってひとりごと！)

51107＝7³・149より、
(1＋7＋7²＋7³)(1＋149)を展開すると、51107のすべての正の約数がわかる。
しかし、総和を求めるだけなので、展開せずにこのまま計算すると、
　(1＋7＋7²＋7³)(1＋149)
＝400×150
＝60000……(答)

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Q27-04	中堅(手作り問題)
【コメント】もう、計算しなくても、流れで答えがわかってきます… 【雑解】二項定理とか使わない直観的な方法で…。まず、余りが同じとき、≡で結ぶ。たとえば、5で割った余りとすると、14≡29≡4である。 (↑つまり、すべて5で割ると余りが4) 負の方にも拡張して、14≡9≡4≡－1≡－6≡－51である。 (↑もちろん、無限にある) 扨、それを使って、今度は、70001で割った余りが同じとき、≡で結ぶというルールで行う。 (700001－1)≡－1より、両辺を69999乗して、 70000⁶⁹⁹⁹⁹≡－1 また、－1≡70000なので、答えは、70000 小学生にもわかるように合同式の説明をして導入しましたが、結局「○○乗」できるかどうかを証明せずに使ってしまい、計画倒れかも… 高校生が素直に解くと、(700001－1)⁶⁹⁹⁹⁹を二項展開すると、70001M－1(Mは整数)となるので、余りが－1ということは70000と同じなので、答えは、70000 二項展開の方がすっきりしているように見えるのは、Mを用いたからです。とにかく、「70001で割った余りが－1ということは余り70000と同じ」がわかるかどうかということです。 ←問題へ戻る

Q27-04

中堅(手作り問題)

【コメント】
もう、計算しなくても、流れで答えがわかってきます…

【雑解】
二項定理とか使わない直観的な方法で…。

まず、余りが同じとき、≡で結ぶ。
たとえば、5で割った余りとすると、14≡29≡4である。
(↑つまり、すべて5で割ると余りが4)
負の方にも拡張して、14≡9≡4≡－1≡－6≡－51である。
(↑もちろん、無限にある)

扨、それを使って、今度は、70001で割った余りが同じとき、≡で結ぶというルールで行う。
(700001－1)≡－1より、両辺を69999乗して、
70000⁶⁹⁹⁹⁹≡－1
また、－1≡70000なので、答えは、70000

小学生にもわかるように合同式の説明をして導入しましたが、結局「○○乗」できるかどうかを証明せずに使ってしまい、計画倒れかも…
高校生が素直に解くと、(700001－1)⁶⁹⁹⁹⁹を二項展開すると、70001M－1(Mは整数)となるので、余りが－1ということは70000と同じなので、答えは、70000

二項展開の方がすっきりしているように見えるのは、Mを用いたからです。
とにかく、「70001で割った余りが－1ということは余り70000と同じ」がわかるかどうかということです。

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Q27-05	副将
【コメント】思案中ですが、募集中でもあります(笑) 【解答】まだよ。 ←問題へ戻る

Q27-06	大将
【コメント】思案中ですが、募集中でもあるでござりまする。【解答】まだだ。 ←問題へ戻る