数学良問集もくじ＞§28 初詣＞答え


ひとめでわかるように、答えのページは背景が白いのよ。


　　　セクション28「初詣」の答え　　



Q28-01 クロシロ君(算数オリンピックエントリー問題参考)
【コメント】
でも、次の問題でついに「サッカー少年」が登場！

ところで、実はこの問題文だけだと「「0から9までのすべての数字が書かれたカード」が10枚」だったり「「0から9までの中の数字が書かれているカード」がたまたま10枚(たとえば、10枚とも３かもしれないなど)」だったり解釈がひと通りになりません。
アイコ：０、３、３、５、９と書いてあることや、「すべてつきとめよ」などから、ひねくれた解釈は必要ないとわかると思いますので、よろしくお願い致します。
数学の問題では、よく「表に0からnまで順に番号が書かれたn枚のカード」と言いますが、この場合、カードゲームに「番号」というのも、ちょっとnonsenseですよね…。

【雑解】
いつも丁寧、親切、わかりやすい解答・解説でおなじみのこの数学良問集ですが(←？)、この問題は小学生が解ける程度の問題なのでサッと・・・

ケン：黒、黒、白、白、黒
　　　０，１，６，７，８
ヒカリ：白、白、白、黒、黒
　　　　２，４，５，６，７
アミ：白、黒、黒、白、白
　　　１，２，４，８，９
アイコ：白、黒、白、黒、黒
　　　　０，３，３，５，９

これ以外の答えはありません。

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Q28-02 ずっとサッカーボール蹴ってたでしょう！(算数オリンピック参考)
【コメント】
私は「タイタ＊ック」よりも「水平線上の陰謀」のほうが何倍も好き。
でも、バレーボールは絶対蹴っちゃダメです！

【解答】
この問題は本から見つけたのですが、本の解答を見る限りでは、私の解き方の方が何倍も優れているので(←自分で言う？)、そちらを紹介！



このように、それぞれの色の下に、入りうる数字の候補をだぁ〜って書いていくんです。
(図ではだいぶ略してますが…)

アイコの白{0, 1, 2, 4}に注目すると、もし4以外の数字を入れると、残りの3人の白{0, 1, 2}がうまくいきません。
(鳩の巣原理って言うんですか？そんな難しいお話はどうでもいいです)
よって、アイコのその白には4しか入りえません。

0から9までの数字で、しかも、確定しているのが中央の3から6で、対称性があることがわかる！
0の反対は9、1の反対は8のようなルールで行くと、4の反対は5です。
したがって、ケンの右から2番目の黒が5だとわかります。
以上！

何とわかりやすい！(笑)

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Q28-03 コーヒーに合うおせんべいw(手作り問題)
【コメント】
「コーヒーに合うせんべい」と検索されると元ネタがバレてしまうかも…
騙されたと思って検索してみては？
ところで、大人の皆さんも今もご自身の分度器ってお持ちですか？
なかったら、買いに行かなくっちゃ！

【秘話】



2B＋Cがばんそうこうのような形をしていることから、"バ"
Cが四角いから、"ロ"
2Bのことを、バひくロで、バーロって書きながら、当初は不等式評価だけで解く気でした、私。
でも、それじゃ解けないことに気づき、仕方なく"分度器問題"に変えたのです…。

【雑解】



Aの面積を求める。∠SOX＝θとおく。
OW＝OY＝TW＝TY＝aとおくと、OS＝OU＝3a(半径)なので、△SYOで三平方の定理よりSY＝2√2a
∴ST＝(2√2−1)a
A＝扇形SOU−四角形OSTU
　＝(3a)2π(90−2θ)/360−2△OST
　＝((45−θ)π/20−2√2＋1)a2
2A＝2((45−θ)π/20−2√2＋1)a2……@

次にBの面積を求める。
同じ図から、



B＝(扇形SOX−△VOW＋△STV)×2
(TVは、△SYO∽△STVなどから求める)
B＝(θπ/20＋2√2−2)a2……A

ここでいよいよ分度器の登場です！
θを測ります。
すると、18°から19°の間になりますね。
それと、√2＝1.41, π＝3.14を使うと、18°の場合も19°の場合も、2A＜B……(答)

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Q28-04 デザイナーズ・ミンシュク(手作り問題)
【コメント】
奇抜な建物は、みんな「デザイナーズ」とか言ってアリにしちゃうのがイヤ。
芸術に疎い人たちを感動させてこそ、真の芸術家だと思います。

【解答】



垂線と平行線がたくさんあるので、90°や錯角や同位角などからいろいろな角度がわかる。
(やっぱり"同位角"は変換で一回で出ません…。どうなってんの！(怒))
さらに、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△EFP≡△HIN

ここまでで準備はおわり。
あとは相似で解けばいいだけですね。
△BFM(⊂{抹茶の間})∽△KBM(⊂{ミルクティーの間})∽△NKM(⊂{海洋深層水の間})で、
相似比は、4：2：1より、面積比は、42：22：12
(↑一気に3つも並べていいのでしょうか？…いいよね(笑))

△BKNと△KHPは合同なので、△KBM(⊂{ミルクティーの間})＝四角形MNHP＝4
("＝"は面積が等しいという意味です)
これですべての部分の面積がわかったので、あとはそれぞれ足すだけで、
ミルクティーの間：抹茶の間：ピーチの天然水の間：海洋深層水の間
＝6：9：6：4……(答)

10分くらいで解けちゃいましたか？

【別解】
sin(赤丸)などを導入して、それぞれの面積をsin(赤丸)で表す方法もあります。
90°がたくさんあるから、sinの式がとっても作りやすいんです！
求めるのは「比」なので、最後にsinが一気に消えていくのも気持ちいいです(笑)
以上、紹介まで…

いずれにせよ、巧妙な補助線を引くと数秒で解けちゃう、というタイプの問題ではないですね。
あと、この4つの部屋を切って、うまく合わせると、正方形ができるんですよね！
忙しい人はぜひやってみてください(←？)

ほら

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Q28-05 また星が生まれて
【コメント】
えっ？"ヘリクツ"が"ヘソクリ"に見えたって？

ところで、"U"という名曲をご存知でしょうか？
もちろん、ガーネットクロウの作品ですが「♪また星が生まれて〜」はその中の歌詞の一部です。
実は、なんと、大ヒントになっていたのです！

【解答】
こちら↓



Qきちさん、これであってますか？

灰色の5点を見ると、また星が生まれていますよね。
何座かな？
星座(ほしざ)ですか・・・(？)

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Q28-06 100人で食べたい？それともふたりで食べる？(手作り問題)
【コメント】
♪友達100人できるかな〜、ってなんて残酷な歌詞・・・
だって、今、同級生100人もいるのでしょうか？
(同級生＝同年齢と考える派の方はとりあえず、put away....)

【解答】



私の当初の予定では、こんなふうに垂線を引いて、「STUVが正方形とすると」として解くつもりでした。
それで、「△ABCはBCとその両端の角が確定するので一意である。よって・・・」って感じの解答を作ってました。

そんなことを、私がひそかに想い焦がれているakanedotさんに言ったら、彼はこう解きました。



「△BTS∽△BAHだから、三平方とかで、AHがわかって、同じ感じでBCもわかる」ってさ！
私は面倒くさがりやのO型の血をもつ人だから、そんな長〜〜い垂線を引くなんてちっとも思いつきませんでした。
TB：BS：ST＝√10：3：1なので、
AB÷√10＝AH
AB÷√10×3＝BH
同様に、
AH×2＝HC

答えは、△ABC＝1です。

【別解】
(公式を知っているならば…)
1辺(＝x)とその両端の角(αとβ)がわかっているとき、その三角形の面積は、
(1/2)x2(sinα＋sinβ)/(sin(α＋β))
または、
(1/2)x2(tanαtanβ)/(tanα＋tanβ)
となります。
BC＝√10というのがわかったら、tanの方の公式に代入すると、ただちに1とわかります！

(実はこの公式を紹介したくて、こんな問題を作ったんです。
最初は、AB＝2の情報ではなくて、BC＝√10にしてました。
いずれにせよ、そんなのを使わなくても中学生でも解けるのですが)

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